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단위를 정규화한 조화 운동 x′=v,v′=−x에서 착안한 자체 순차 계산이에요. 두 번째 갱신은 이미 계산한 새 x를 사용해요. x₀=1,v₀=0이고 h>0은 고정해요. 아래 Q_h가 모든 단계에서 보존된다는 사실만으로 x_n,v_n이 유계라고 할 수 있나요? h=1과 h=2를 각각 판단해 볼까요? 유계는 모든 단계의 절댓값을 하나의 유한 상수로 제한할 수 있다는 뜻이에요.
새 위치를 r=x+hv라 쓰면 새 속도는 v−hr입니다. Q_h(r,v−hr)를 전개해 r²+v²−hrv=(x+hv)²+v²−hv(x+hv)=x²+v²+hxv를 얻어요. 따라서 Q_h는 실제로 보존되고 초기값은1입니다.
h=1이면 Q₁=x²+v²+xv≥(x²+v²)/2입니다. 이는 (x+v)²≥0에서 xv≥−(x²+v²)/2를 쓴 거예요. 그러므로 모든 단계에서 x_n²+v_n²≤2이고 각각 절댓값√2 이하라 유계다.
h=2에서는 Q₂=(x+v)²=1뿐이에요. x와 v가 서로 상쇄하며 커질 수 있어요. 실제 점화식의 앞 기록은(1,0),(1,−2),(−3,4),(5,−6)입니다. 다음 일반항을 대입/귀납으로 확인하면
보존값은 같아도 두 절댓값은 계속 커져요. h=1의 식은 제곱합을 아래에서 양수 배율로 잡지만 h=2에서는 그 배율이0이 돼요. 보존한다는 말뿐 아니라 보존식이 어느 방향의 크기까지 제한하는지 확인해야 해요. 연속 운동의 물리에너지가 커졌다는 실험 결과가 아니라 자체 수치 규칙의 계산이에요.
Hairer의 실제 강의는 explicit Euler와 새 위치를 먼저 사용하는 symplectic Euler를 구별해요. 여기서는 원문 double-well 실험을 옮기지 않고 조화 모형의 보존식과 두 단계 폭을 직접 계산했어요. Q_h를 실제 물리에너지의 정의라고 부르지 않아요.
Q의 값이 변하지 않았다는 검산 뒤에 x²+v²를 제한할 부등식도 확인해 봐요. h=2에서 불가능한 크기 상한을 그대로 쓰면0으로 나누게 돼요. 원문의 전문 용어보다 전개·비음수 제곱·반례 수열로 설명해 고등수학 독자가 조건 차이를 읽을 수 있게 해요.
착안 원문: Ernst Hairer, Geometric Numerical Integration, introductory lecture notes (TU München winter2009/10). 수치·표·문항·풀이를 새로 만든 교육용 모형이며 원문 자료의 실제 관측값을 보고한 것이 아니에요.