로켓의 두 모듈 A,B를 두 가지 순서로 조립해 비교해요. 모두 처음부터 탑재하고, 첫 모듈은 연료를 전부 쓴 뒤 빈 구조물만 분리해요. 남은 모듈은 자기 연료를 전부 써요. 탑재물 질량 P, 각 구조물 질량 d₁,d₂와 연료 질량 f₁,f₂는 모두 양수예요. 연료 소모 외에는 질량이 변하지 않아요. 외력·중력·저항을 제외하고 분리 순간 속도 변화는0, 두 연소의 일정 배출 속도 계수는 같은 c>0이라 정해요.
한 연소 구간의 속도 증가는 c ln(연소 전 질량/연소 후 질량)입니다. 모든 질량의 자체 단위를 같게 쓰고 P=1,d₁=2,d₂=1,f₁=10,f₂=1로 둬요. 구조물이 무거운 A를 먼저 쓰는 편이 총 속도 증가가 큰가? 일반 양수 질량에서 A→B와 B→A를 구별하는 필요충분조건도 구해 볼까요? 두 연료량이 같을 때는 어떻게 달라지나요?
처음 질량을 M=P+d₁+d₂+f₁+f₂라 해 볼까요? 두 연소의 로그를 합치면 총 속도 증가는 c ln R입니다. A→B에서 첫 연소 직후에는 A의 빈 구조물도 남아 있어요. 그것을 분리한 뒤에야 두 번째 연소의 시작 질량을 써요.
자체 예는 M=15, R_AB=9/2, R_BA=65/14이고 9/2<65/14입니다. 따라서 이 경우에는 가벼운 구조물 B를 먼저 쓰는 편이 속도 증가가 커요. 연료량이 다르므로 구조물 질량만으로 순서를 정할 수 없어요.
모든 질량이 양수라 두 식의 분모도 양수예요. 같은 양수 M을 지우고 교차 곱하면 R_AB−R_BA의 부호는 다음 D의 부호와 같아요. 자연로그는 증가하고 c>0이므로 속도 증가의 비교도 이 부호를 따라요.
이를 얻으려면 (P+d₂+f₂)(P+d₁+d₂+f₁)(P+d₁)에서 (P+d₁+f₁)(P+d₁+d₂+f₂)(P+d₂)를 뺀 뒤 전개해요. 따라서 D>0이면 A→B, D<0이면 B→A가 더 크고 D=0이면 두 값이 같아요. 이 세 경우는 모든 양수 질량을 포함해요.
연료량을 같은 f>0으로 제한하면 식은 훨씬 짧아져요.
마지막 인수는 양수예요. 같은 연료량에서는 구조물이 더 무거운 모듈을 먼저 쓰는 편이 유리하고, 구조물도 같으면 두 순서가 같아요. 처음 예는 이 조건을 만족하지 않으므로 같은 연료량의 결론을 적용할 수 없어요.
연소가 끝난 순간의 질량과 구조물을 떼어낸 다음 순간의 질량을 혼동하면 첫 분모를 잘못 적어요. 최종 탑재물과 마지막 구조물 질량도 서로 다르므로 두 순서가 마지막에 같은 질량으로 끝난다고 가정하지 않아요. 비교하는 것은 시작 속도가 같은 두 조립 순서의 총 속도 증가다.
NASA의 이상 로켓 관계와 단계 분리 설명에서 착안해 질량·가정·비교 문제를 자체 구성했어요. 엔진별 계수가 다르거나 중력·저항·분리 충격을 넣으면 현재 D만으로 결과를 정할 수 없어요. 실제 로켓의 구조를 마음대로 바꾸어도 된다는 설계 결론도 아니에요.
연료를 쓰는 동안 남아 있는 구조물과, 다음 연소 전에 제거되는 구조물을 질량 표에 나누어 적어 봐요. 숫자 한 예의 역전과 모든 양수 질량에 대한 세 갈래 분류, 같은 연료량이라는 추가 조건을 따로 확인해요.
착안: NASA Glenn, Ideal Rocket Equation, Flight To Orbit의 Staging. 자체 이상 모형과 수치·조건·일반 비교 증명을 새로 작성했어요.