이미 0°로 선형 편광된 빛의 세기를 1로 두고, 뒤에 필터 n개를 놓아요. k번째 축은 90k/n도(k=1,…,n)입니다. 입사 방향과 필터 축의 차이가 δ일 때 출력은 입력×cos²δ입니다. 별도로 각 필터가 이 출력의 η만 통과시킨다는 자체 모형을 추가해요. 이상 조건 η=1과 추가 손실 η=1/2의 n→∞ 결과를 비교하고, η=1/2일 때 가장 밝은 정수 n≥1을 구해 볼까요? 실제 제품 사양이 아니에요.
한 필터의 각도 차는 π/(2n)이고 통과 때마다 편광 방향도 새 축으로 바뀌어요. 이상 조건에서는 세기가 1로 가요. 그 결론을 확인하려고 0≤u≤π/2에서 1−cos u≤u²/2를 쓰면, n≥2에서 코사인이 0 이상이므로 베르누이 부등식으로 T_n(1)≥1−π²/(4n)을 얻어요. 부등식 1−cos u≤u²/2는1−cos u=2sin²(u/2)와0≤sin x≤x에서 나와요. 단위원에서 현의 길이가 대응 호의 길이를 넘지 않는다는 것으로 이 sin 부등식도 확인해요. 베르누이 부등식 (1−a)^m≥1−ma(0≤a≤1)은 m에 대한 귀납으로 확인할 수 있어요. 위쪽 한계는 1이라 두 한계가 1로 모여요.
η=1/2에서는 T₁=0, T₂=1/16, T₃=27/512입니다. n≥4이면 cos항이 1보다 작아 T_n<2⁻ⁿ≤1/16입니다. 따라서 가장 밝은 개수는 n=2입니다. 필터마다 조금씩만 방향을 꺾는 이점이 있어도 고정 추가 손실을 무한히 곱하면 사라져요.
MIT 슬라이드는 여러 필터의 점진적 회전 그래프에 추가 흡수가 없다는 조건을 붙여요. 실제 필터의 추가 손실 설명에서 착안해 이 글은 η를 따로 넣고 유한 개수의 전역 최적성까지 새로 증명했어요. 원문의 이상 그래프를 현재 실제 실험값으로 바꾸어 보고하지 않아요. 직교 누설은 이 자체 모형에서 0으로 따로 가정했어요.
“필터를 늘릴수록 더 통과한다”고 설명하기 전에 각 단계의 통과 계수를 표시해 봐요. 방향 변화에 의한 손실과 매 필터의 공통 손실을 하나로 숨기면 극한을 실제 설계 판단으로 옮길 때 결론이 뒤집혀요. η=1을 먼저 고정한 계산과 η<1을 고정한 계산도 구별해요.
착안 원문: MIT 6.007 Lecture 24: Polarized light and polarizers (Spring 2011). 수치·표·문항·풀이를 새로 만든 교육용 모형이며 원문 자료의 실제 관측값을 보고한 것이 아니에요.