이상적인 원형 기둥의 길이는 L, 반지름은 r입니다. 아래 P는 양끝 핀 지지에서의 탄성 좌굴하중이에요. E는 같은 재료의 고정 상수예요. 길이를 L/2로 만드는 두 방법의 P는 각각 몇 배인가? A는 반지름을 그대로 두고 절반을 잘라내요. B는 처음 재료를 모두 써서 동일 부피의 원형 기둥으로 다시 만들어요. 전후 모두 균질·축방향 압축·탄성 좌굴 범위의 길고 가는 기둥이며 지지조건도 같아요.
A는 I가 변하지 않고 길이 제곱만 1/4이 되어 P가 4배예요. B는 V를 유지하므로 새 반지름 제곱이 2r²입니다. 반지름의 네제곱은 4r⁴이고 I도 4배가 돼요. 따라서 B의 하중은 4×4=16배예요.
마지막 식은 r²=V/(πL)을 대입해 얻어요. 부피가 일정한 모형은 L⁻⁴, 단면이 일정한 모형은 L⁻²를 따라요. “길이 절반”만 같고 남겨 둔 재료량과 단면 조건은 같지 않아요.
원문은 탄성 좌굴하중과 원형 단면의 중심축 식을 제시해요. 여기서는 동일 부피 재성형이라는 별도 제약을 추가해 두 변화 법칙을 직접 유도했어요. 짧아진 실제 기둥이 항복 한계에 닿으면 이 배율을 실제 최대하중으로 옮길 수 없으며, 문항은 전후 모두 Euler 범위라는 조건을 따로 고정했어요.
“나머지는 일정하다”라고 쓰기보다 유지한 양이 r인지 V인지 적어 봐요. 같은 조작 이름 아래 다른 함수가 생기는 이유를 미분 전에 설명할 수 있어야 해요.
착안 원문: Strength of Materials, chapter 15 and Appendix E (Virginia Tech Press, 2026). 수치·표·문항·풀이를 새로 만든 교육용 모형이며 원문 자료의 실제 관측값을 보고한 것이 아니에요.