정육면체0≤x,y,z≤1에서 x+y+z<1/2인 원점 쪽 부분을 잘라 버려요. 남은 입체의 꼭짓점 V,모서리 E,면 F를 구해 볼까요? “꼭짓점 하나를 제거했으니 V는8에서7이 된다”는 주장을 검토해요. 한 평면 안의 면을 임의로 삼각형으로 나누어 세지 않아요.
원래 꼭짓점 중 원점만 없어지고 나머지7개는 남아요. 그러나 잘린 세 모서리 위에(1/2,0,0),(0,1/2,0),(0,0,1/2)가 새 꼭짓점으로 생겨 V=10입니다. 원래12모서리는 일부 길이가 짧아져도 각각 한 모서리로 남고, 절단 삼각형의 세 변이 더해져 E=15입니다. 원래 여섯 면도 일부 잘려 남으며 새 삼각형 면이 붙어 F=7입니다.
오일러 관계는10−15+7=2로 유지돼요. 부피의 일부가 없어졌다는 사실은 꼭짓점이라는 항목의 수가 줄었다는 뜻이 아니에요.
Euler E231의 절단은 기존 이웃 꼭짓점을 지나 새 꼭짓점을 만들지 않도록 구성해요. 이 글의 모서리 중간 절단은 그 조건과 다른 자체 조작이에요. 역사 문장의 “잘라 내기”라는 말만 가져와 꼭짓점 한 개 감소를 적용하지 않아요. 원문의 삽화를 복제하지 않고 좌표로 새 조건을 정했어요.
절단 전후 대응표에서 사라진 꼭짓점과 새로 생긴 꼭짓점을 다른 줄에 적어 봐요. 오일러 식을 맞추기 전에 실제 새 경계의 세 항목을 각각 세어야 해요.
착안 원문: Leonhard Euler, E231 (1758), English translation by Christopher Francese and David Richeson (2004). 문항의 좌표·수치·조건과 풀이를 새로 작성했어요. 실제 측정 자료나 원문 그림·번역문을 전재한 것이 아니에요.