참값 X가 0 또는 1일 때, 장치가 보고값 Y도 0 또는 1로 만들어요. 다음 표의 a, b를 정하는 자체 모형이에요. 같은 보고값의 확률은 어느 참값을 넣어도 다른 참값에서의 3배를 넘지 못하게 해요. 두 방향을 모두 제한해요.
| 입력 | 보고0 | 보고1 |
|---|---|---|
| X=0 | a | 1−a |
| X=1 | 1−b | b |
각 입력의 확률은 장치 규칙으로 정하며 0≤a,b≤1입니다. 조건을 나눗셈 대신 다음 부등식으로 쓰면, 두 확률이 함께 0인 경우도 다룰 수 있어요.
참값 1의 비율 θ를 모를 때 가장 나쁜 정답 확률을 크게 만드는 규칙과, θ를 알 때 평균 정답 확률을 크게 만드는 규칙이 같은가?
u=a+3b, v=3a+b로 놓으면 네 부등식은 1≤u,v≤3인 정사각형이에요. 역으로 a=(3v−u)/8, b=(3u−v)/8이므로 이 정사각형의 모든 점은 0≤a,b≤1을 만족해요.
θ를 모르면 최악의 정답 확률은 min(a,b)입니다. a+b=(u+v)/4≤3/2이므로 min(a,b)≤3/4입니다. a=b=3/4에서 이를 달성하며, 등호에는 두 값이 같고 합이 3/2여야 하므로 이 규칙은 유일해요.
θ를 알면 정답 확률 C는 가중평균이에요. 대입하면
u,v의 계수 부호에 따라 각 끝점을 고르면 돼요. 0≤θ<1/4이면(a,b)=(1,0), 1/4<θ<3/4이면(3/4,3/4), 3/4<θ≤1이면(0,1)이 유일한 최적 규칙이에요. 첫째는 늘 0, 마지막은 늘 1을 보고해요. θ=1/4에서는(1,0)과(3/4,3/4)를 잇는 선분의 모든 규칙이 최적이고, θ=3/4에서는(3/4,3/4)와(0,1)를 잇는 선분이 모두 최적이에요.
예를 들어 θ=1/10이면 늘 0을 보고하는 규칙의 정답 확률은 9/10입니다. 입력마다 3/4 확률로 맞히는 규칙보다 평균은 높지만, 참값 1인 경우는 한 번도 맞히지 못해요. 알려진 비율의 평균과 비율을 모르는 최악 조건은 다른 목적이에요.
Census가 제공하는 논문의 무작위 응답 설명은 보고 확률과 통계 정확도를 구별해요. 여기서는 원문의 모집단 비율 추정을 그대로 옮기지 않고, 개별 보고 정답률의 두 최적화 문제를 새로 만들었어요. 교사는 ‘잘 맞힌다’는 답에 평균을 낸 비율인지, 각 참값의 보장인지 적게 해요. 실제 개인정보 절차를 도입한 결과나 조사 성능을 측정한 글은 아니에요.
착안: Abowd·Schmutte, CES18-35, AppendixB. 확률표·배수 3·문항·분류와 증명은 자체 교육 모형이에요.