사면체의 밑면 세 모서리는 모두√3이고, 꼭짓점 D에서 밑면의 세 꼭짓점으로 가는 모서리는 모두9/10이라고 줘요. 네 면을 각각 만들 때 삼각부등식은 성립할까요? 양의 부피를 가진 사면체가 실제로 존재하나요? 밑면은 아래 좌표로 놓을 수 있어요.
밑면은 정삼각형이고, 다른 세 면의 변은9/10,9/10,√3입니다. 9/5>√3이므로 이 세 이등변삼각형도 각각 만들 수 있어요. 그러나 D=(x,y,z)에서 DA²=DB²와 DA²=DC²를 빼면3x=√3y와3x=−√3y를 얻어 x=y=0입니다. 따라서 DA²=1+z²여야 해요.
실수 높이는 존재하지 않아요. 일반적으로 이 밑면에서 D의 세 거리가 모두 r라면 r>1일 때만 양의 부피 사면체가 가능해요. √3/2<r<1에서는 네 면은 각각 가능하지만 함께 붙인 공간 입체는 없어요. r=1에서도 D는 밑면 중심이라 부피0입니다.
Euler의 여섯 모서리로 부피를 구하는 설명은 밑면 위 투영과 높이제곱을 계산해요. 현재 길이는 실제 측정값이나 원문 예시가 아니라, 면별 조건과 전체 공간 호환성의 차이를 보이려고 새로 구성한 반례예요.
교사는 면별 삼각부등식 검사에 모두 표시했다고 사면체 존재까지 승인하지 않아요. 네 면의 길이가 같은 공간의 점 네 개에서 동시에 나와야 한다는 조건을 거리 차식으로 확인하게 해요. 존재를 가정해 실수 제곱의 모순을 얻는 귀류법을 적용해요.
착안 원문: Leonhard Euler, E231 (1758), English translation by Christopher Francese and David Richeson (2004). 문항의 좌표·수치·조건과 풀이를 새로 작성했어요. 실제 측정 자료나 원문 그림·번역문을 전재한 것이 아니에요.