유한하고 연결된 볼록 다면체의 모든 면이 삼각형이에요. 각 모서리는 서로 다른 두 면에 붙고, 꼭짓점 v에 붙은 모서리 수를 dᵥ라고 쓸게요. 모든 꼭짓점에서 dᵥ≥6이 가능할까요? 다음 오일러 관계를 주어진 사실로 사용하되 구멍 난 입체나 분리된 여러 입체에 적용하지 않아요.
삼각형의 세 모서리를 면별로 세면 각 실제 모서리는 두 번 나타나3F=2E입니다. 모서리의 두 끝점을 꼭짓점별로 세어도 ∑dᵥ=2E입니다. 오일러 관계에 F=2E/3을 넣으면 E=3V−6을 얻어요.
모든 dᵥ≥6이면 왼쪽의 각 항이0 이하라 합이12일 수 없어요. 따라서 적어도 한 꼭짓점은 모서리가5개 이해요. 더 나아가 모든 dᵥ가5또는6뿐이라는 추가 조건에서는 정확히12개 꼭짓점이5갈래예요. 5갈래 한 곳마다 합에1,6갈래는0을 보탠다. 다른 차수가 허용되면12라는 수를 곧바로5갈래 꼭짓점 수라고 읽을 수 없어요.
Euler의 경계 수 관계에서 출발하되 현재 삼각형 면 조건과 모서리 붙음의 이중 세기를 새로 결합했어요. 평면 삼각 타일에서 보이는 여섯 갈래의 패턴을 유한한 닫힌 볼록 입체 전체로 옮길 수 있는지 전역 식으로 판단해요. dᵥ는 이 글이 명시한 모서리 개수 변수이며 각도의 크기가 아니에요.
교사는 일부 여섯 갈래 꼭짓점의 사진이나 모형만으로 “모든 곳”을 결론내리지 않게 해요. 각 항을 실제로 모두 조사하지 않아도 전역 합12와 부호를 사용해 최소 한 예외가 필요함을 증명할 수 있어요.
착안 원문: Leonhard Euler, E231 (1758), English translation by Christopher Francese and David Richeson (2004). 문항의 좌표·수치·조건과 풀이를 새로 작성했어요. 실제 측정 자료나 원문 그림·번역문을 전재한 것이 아니에요.