두 산업이 서로의 제품을 재료로 써요. 생산량과 수요는 각 제품의 생산 단위로 정규화한 자체 모형이에요. a,b,c,d는 투입계수이고 모두 0 이상이에요. 산업 2가 자기 제품 한 단위를 만들 때 산업 1 제품 b 단위를 쓴다는 뜻으로 열 방향을 정해요.
외부 수요 y₁,y₂가 양수일 때 두 생산량도 모두 양수가 되는 필요충분조건을 구해 볼까요? 연립식의 실수해가 하나라는 조건으로 충분한가?
a=d=0,b=2,c=1,y₁=y₂=1을 넣으면 x₁=2x₂+1,x₂=x₁+1입니다. 하나뿐인 해는 (−3,−2)로, 양수 생산량 조건을 만족하지 않아요. 계산이 틀린 것이 아니라 이 계수로는 주어진 수요를 양수 생산량에서 맞출 수 없어요.
일반 조건도 직접 찾을 수 있어요. 양수 해가 있다면 (1−a)x₁=bx₂+y₁>0이므로 a<1이고, 같은 이유로 d<1입니다. 두 양수 관계의 오른쪽을 곱하면
따라서 Δ>0도 필요해요. 마지막 식은 b나 c가 0이어도 y₁y₂>0이 남아 엄격히 양수예요.
반대로 a<1,d<1,Δ>0이면 소거로 구한 다음 해의 분자·분모가 모두 양수예요.
실제로 두 균형식에 대입해 성립하고 Δ가 0이 아니어서 해도 유일해요. 이는 특정 양수 수요 하나뿐 아니라 모든 양수 y₁,y₂에 통하는 같은 조건이에요. Δ>0 하나만 떼어 쓰면 안 돼요. a=d=2,b=c=0에서도 Δ=1이지만 생산량은 −y₁,−y₂입니다.
계수 하나가 1보다 크다는 이유만으로 실패라고 말하는 것도 틀려요. a=d=0,b=2,c=1/4,y₁=y₂=1이면 Δ=1/2이며 생산량은 (6,5/2)입니다. 서로 다른 제품의 단위로 정한 교차 투입계수 b=2와 자기 제품의 자기 투입계수 a를 같은 범위 조건으로 다루지 않아요.
Leontief의 강연은 제품별 투입과 총수급의 선형 관계를 설명해요. 여기서는 원래 세계경제 표를 재현하지 않고, 두 산업의 비음수 계수 모형에서 해의 존재·양수성·유일성 조건을 증명했어요. 교사는 해를 구한 줄과 그 해가 모형의 생산량으로 허용되는 줄을 분리하게 해요. 실제 생산계획이나 경제 전망을 검증한 결과는 아니에요.
착안: Leontief, Nobel lecture, PDF4–5. 수치·문항·양수 해의 전체 조건과 증명은 자체 작성했어요.