무차원 교육모형에서0<ω≤1입니다. h는 수위,q는 유량,t는 정규화 시간이며 각도 입력은 라디안이에요. 한 주기의 평균 유량과(h,q)그림의 닫힌 고리 넓이 Aω를 비교해 볼까요? 그림은 수위 상승 때 위쪽 가지,하강 때 아래쪽 가지를 돌아 Aω가 양의 넓이가 돼요. 아래 매개 적분으로 Aω를 계산할 수 있어요. ω=1/2와1의 결과가 같은가?
h는 한 주기 후 원래 값으로 돌아가∫h′dt=0입니다. (2+sin u)²=4+4sin u+sin²u이고 한 주기의 사인 평균은0,사인 제곱 평균은1/2입니다. sin²u=(1−cos2u)/2로 적분해 확인하면 q의 시간평균은3×(4+1/2)=27/2로 ω에 관계없다.
h′=ωcos(ωt)이고 u=ωt로 바꾸면 마지막 적분은2ω∫₀²πcos²u du=2πω입니다. 따라서 느린ω=1/2는 고리 넓이π,빠른ω=1은2π입니다. 총 유량∫qdt는27π/ω라 오히려 빠른 경우 절반이에요. 두 가지 사이의 세로 간격은4ω√(1−(h−2)²)이므로 h=1~3에서 이 간격을 적분한 실제 고리 넓이도2πω입니다. ω≤1에서 h≥1,|h′|≤1이므로 q≥3−2=1로 음의 유량을 만들지 않아요.
USGS의 동적 관계는 수위·유량 그림의 이력 고리를 시간자료로 분석해요. 이 글의 사인파와 선형 h′ 보정은 DYNPOUND의 원래 식이나 실제 홍수 관측값이 아니에요. 고리 넓이,시간평균,총 유량이라는 서로 다른 적분을 자기 모형에서 직접 분리했어요.
교사는 그림의 가로가 수위일 때의 넓이를 시간 그래프의 면적과 섞지 않게 해요. Aω에는 h′가 들어가고 총 유량에는 들어가지 않아요. 동일 진폭/평균만으로 왕복속도까지 같은 관측이라고 말할 수 없는 이유를 물어요.
착안 원문: Domanski, Holmes, Heal and Knight, Dynamic rating method for computing discharge and stage from time-series data (2025). 수치·표·문항·풀이를 새로 만든 교육용 모형이며 원문 자료의 실제 관측값을 보고한 것이 아니에요.