카드 다섯 장이면 규칙에 맞는 세 장이 반드시 나올까요? 네 자리마다 0,1,2 중 하나를 적은 서로 다른 카드를 생각해요. 세 장을 한 묶음으로 고를 때 각 자리의 값은 모두 같거나 모두 달라야 해요. 실제 상품의 그림을 사용하는 대신 숫자 자리로 규칙만 표현해요.
먼저 뒤의 두 자리를 0으로 고정해요. 앞의 두 자리만 달라지는 아홉 장 중 다섯 장을 고르면 성공 세 장이 반드시 있어요. 각 자리의 세 값이 모두 같거나 모두 다르다는 것은 합이 3의 배수라는 뜻이에요. 그러므로 서로 다른 두 장을 고르면 그것을 완성하는 세 번째 장이 같은 아홉 장 안에 하나로 정해져요.
성공 세 장이 없다고 가정하면, 다섯 장의 열 쌍을 완성하는 카드는 모두 바깥 네 장에 있어야 해요. 하지만 바깥 카드 하나는 많아야 두 쌍을 완성해요. 서로 다른 두 쌍이 한 장을 공유하면, 같은 완성점과 같은 공유 카드로 나머지 카드까지 정해져 같은 쌍이 되기 때문이에요. 열 쌍을 최대 여덟 쌍의 자리에 담을 수 없어 모순이에요. 앞의 두 자리 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)만 고른 네 장에는 성공 세 장이 없으므로 다섯 장이라는 경계도 확인돼요.
그러나 세 번째 자리도 바꿀 수 있게 하면 다음 다섯 장에는 성공 묶음이 없어요. 네 번째 자리는 여전히 0입니다.
둘째 자리가 1인 카드는 두 장뿐이어서 성공 후보는 둘째 자리가 0인 처음 세 장만 남아요. 그런데 그 셋의 세 번째 자리는 0,0,1입니다. 모두 같지도 모두 다르지도 않아요.
교사는 “다섯 장이면 된다”는 답 뒤에 어떤 속성을 고정했는지 묻게 해요. 아홉 장 안에서 두 장의 완성점이 항상 돌아오는 사실이 증명의 어느 줄에 쓰였는지도 짚어요. 카드 수의 숫자만 기억하면, 더 많은 속성이 바뀌는 전체 카드로 결론을 잘못 옮기기 쉬워요.
착안: Hillary Fairbanks, The Game SET as F3^4, 2쪽. 규칙과 좌표 표현에서 착안한 자체 조건 비교예요. 원전 문장·상품 도안·그림·문항의 번역이나 복제는 사용하지 않았어요.