분자가 1인 서로 다른 분수 두 개로 3/7을 만들 수 있을까요? 3/10은 1/4+1/20으로 돼요. 3/7에서 답을 못 찾았다는 이유만으로 불가능이라고 말하지 말고, 어떤 분모에서 두 항 분해가 되는지 조건을 찾아봐요.
b,x,y는 정수예요. 3∤b는 b가 3의 배수가 아니라는 뜻이에요. 답은 ‘b의 소인수 중 3으로 나눈 나머지가 2인 소수가 있는가’로 정해져요. 소인수는 b를 나누는 소수다.
두 양수 항이 있으므로 1/x와 1/y는 각각 3/b보다 작아요. 따라서 u=3x−b,v=3y−b는 양수 정수이고 u<v입니다. 통분한 식을 정리하면
마지막 표기는 u와 −b를 3으로 나눈 나머지가 같다는 뜻이에요. 반대로 이 조건을 만족하는 약수 u를 찾으면 v=b²/u로 놓아요. b²의 3 나머지는 1이므로 v도 −b와 나머지가 같아요. 따라서 x=(u+b)/3,y=(v+b)/3은 서로 다른 양수 정수가 되고 원래 식을 만족해요. 약수 쌍이라는 조건만으로 정수 분모가 저절로 나오는 것은 아니에요.
우선 b를 3으로 나눈 나머지가 2이면 u=1을 고를 수 있어요. x=(b+1)/3,y=(b²+b)/3이 두 항 분해를 줘요. 이런 b에는 나머지가 2인 소인수가 반드시 있어요. 모든 소인수가 나머지 1이면 그 곱도 나머지 1이기 때문이에요.
이제 b의 나머지가 1인 경우예요. 나머지가 2인 소인수 p가 있으면 p<b입니다. p=b라면 b의 나머지가 2가 되어야 하므로 현재 경우가 아니기 때문이에요. u=p를 고르면 약수·크기·나머지 세 조건을 모두 만족해요. 반대로 그런 소인수가 하나도 없으면 b²의 모든 약수가 나머지 1입니다. 필요한 u의 나머지 −b≡2가 나올 수 없어 두 항 분해는 불가능해요. 이로써 두 항 분해 가능의 필요충분조건이 증명되었어요.
7은 소수이고 3으로 나눈 나머지가 1이라 두 항으로는 안 돼요. 한 항 1/x도 b가 3의 배수가 아닐 때 불가능해요. 하지만
이므로 3/7의 최소 항수는 3입니다. 10은 소인수 2와 5가 모두 나머지 2여서 두 항이 가능해요. 앞의 1/4+1/20이 실제 검산을 줘요.
Eppstein은 두 항 분해를 약수 쌍과 정수 분모 검사로 줄여요. 여기서는 특정 약수를 나열하는 데서 더 나아가 분자 3인 모든 기약분수의 가능조건을 소인수 나머지로 증명했어요. 소인수분해의 표준 사실은 MathWorld의 정리 설명을 확인했어요. 이 분류를 수학의 최초 발견이라고 주장하지 않아요.
교사는 ‘가능한 약수 쌍’과 ‘정수 분모를 복원하는 약수 쌍’을 따로 적게 해요. 49의 작은 약수 1,7은 모두 3 나머지가 1이라 3/7에서는 탈락해요. 답을 몇 번 시도했다는 기록보다 모든 후보를 막는 조건이 불가능의 근거예요.
착안: Eppstein, Short Sequence Method, MathWorld, Fundamental Theorem of Arithmetic. 문항·소인수 조건의 양방향 증명·수치와 교사 질문은 직접 구성했어요.