같은 주기로 흔들리는 진자라면, 어느 높이에서 출발해도 바닥에 처음 도착하는 시간이 같을까요? 먼저 “주기”와 “첫 도착”을 따로 정해야 해요. 사이클로이드의 바닥에서 잰 부호 있는 호의 길이를 s라 하고, 마찰 없는 이상화에서 가속도는 −ω²s라고 해 볼까요?
ω>0, 출발 위치 A>0입니다. 출발할 때 바닥을 향한 속력이 v≥0이면 다음 위치 함수를 비교해요. 곡선의 허용 호의 길이가 −ℓ에서 ℓ까지라면 진폭 √(A²+(v/ω)²)가 ℓ보다 작은 값만 택해요.
두 번 미분하면 s″=−ω²s이고, 처음 위치는 A, 처음 속도는 −v입니다. 이 함수가 주어진 운동 조건을 실제로 만족하는지 먼저 확인해요.
정지 출발인 v=0에서는 첫 영점이 ωT=π/2입니다. 출발 위치 A는 이 시간을 바꾸지 않아요. 그러나 같은 양의 초기 속력 v를 주면 결과가 달라져요.
두 번째 식의 구간에서 탄젠트는 엄격히 증가해요. 따라서 v와 ω를 고정하면 A가 클수록 첫 도착도 늦어요. ω=v=1, ℓ=3인 자체 예에서 A=1이면 π/4, A=√3이면 π/3입니다. 두 진폭은 모두 3보다 작아 허용 범위 안이에요.
그런데 전체 진동의 최소주기는 둘 다 2π/ω입니다. 처음 바닥에 도착한 뒤에는 반대쪽으로 지나가며, 원래 위치와 움직이는 방향이 함께 돌아오는 때가 전체 주기예요. 같은 전체 주기에서 서로 다른 첫 도착 시간이 나올 수 있어요.
교사는 “등시성”이라는 말을 쓰기 전에 정지 출발인지, 초기 속력을 어떻게 맞추는지, 어떤 사건까지 시간을 재는지 물어요. 위 계산은 같은 비영 초기 속력을 준 경우예요. 초기 속력을 출발 위치에 비례하게 바꾸는 다른 실험까지 같은 결론으로 묶지 않아요.
착안: Riccardo Borghi, Huygens’ cycloidal pendulum: an elementary derivation. 원전의 가속도 관계를 출발점으로 초기 조건과 첫 도달 시간을 직접 비교했어요. 실제 장치 측정이나 원전 그림·문장의 번역이 아니에요.