서로 영향을 주는 두 변화에 억제 항을 더하면, 작은 차가 항상 더 빨리 사라질까요? 각 항의 부호만 보고 답하기 전에 두 변화가 함께 만드는 증가율을 계산해 볼까요? 튜링의 1952년 논문은 평형 근처의 작은 차를 두 선형 변화율로 근사했어요. 여기서는 원논문의 실제 물질이나 공간 고리를 재현하지 않는 자체 모형을 써요.
u,v는 평형에서 벗어난 부호 있는 작은 차이고 λ≥0입니다. 음의 u나 v는 음의 물질 농도가 아니라 기준보다 작은 상태를 뜻해요. 두 변화의 자기 계수에서 각각 λ와 20λ를 빼요.
u=Ue^{rt}, v=Ve^{rt}이고 (U,V)≠(0,0)인 변화를 살펴요. r>0이면 이 모드의 차가 시간에 따라 커져요. 대입한 두 일차식에서 U=0은 V=0을 강제하므로 U≠0입니다. V=(1−λ−r)U/2로 소거하면 증가율이 만족할 식을 얻어요.
역으로 이 식의 실근 r에 U=1, V=(1−λ−r)/2를 택하면 두 일차식을 모두 만족해요. 방정식의 실근이 실제로 0이 아닌 모드를 만드는지도 확인한 거예요.
판별식은 152λ+361λ²이므로 모든 λ≥0에서 두 근은 실수예요. 근의 합은 −2−21λ로 음수예요. 따라서 양의 근이 있으려면 두 근의 곱이 음수여야 하고, 그것으로 충분해요. 곱이 0이면 한 근은 0, 다른 근은 음수이므로 양의 근이 없어요.
λ=0에서는 r=−1만 나와요. 그런데 λ=1/10이면 근의 곱이 −1/2여서 양의 증가율 하나가 생겨요. 자기 변화율의 두 계수는 모두 줄었지만, 서로 영향을 주는 전체 모드의 판단은 달라져요.
이번에는 양쪽 자기 계수에서 같은 δ≥0을 빼자. 증가율 식은 (r+1+δ)²=0이고 r=−1−δ<0입니다. 이 경우에는 양의 증가율이 없어요. 억제량이 같을 때와 크게 다를 때를 같은 규칙으로 묶을 수 없어요.
교사는 두 근의 합과 곱을 쓰기 전에 실근인지 확인하게 해요. 경계에서 r=0을 양의 증가로 세는지도 따로 점검해요. 이 계산은 주어진 작은 차의 모드에 대한 조건이며, 실제 화학 반응이나 동물 무늬의 생성, 모든 시작 상태의 결과를 입증한 것은 아니에요.
착안: A. M. Turing, The Chemical Basis of Morphogenesis, §3·§6. 평형 근처의 결합 모드 원리에서 불균등·균등 억제를 비교하는 자체 모형과 질문·증명을 새로 작성했어요. 원전 그림과 문장, 실험 자료는 재사용하지 않았어요.