색을 칠한 띠의 칸마다 1부터 번호를 붙여 볼게요. 띠 안에서 4칸 떨어진 두 색은 같고, 7칸 떨어진 두 색도 같다고 해요. 열 칸짜리 띠라면 서로 다른 색이 남을 수 있을까요? 아홉 칸일 때도 같은 결론일까요? 양끝을 붙이는 원형 띠가 아니며, 띠 밖의 색은 조건에 포함하지 않아요.
칸의 색을 c₁,…,cₙ이라 써요. 여기서 간격 p가 주기라는 말은 두 칸이 모두 띠 안에 있는 경우에만 다음 등식이 성립한다는 뜻이에요. 가장 작은 주기라는 뜻도 아니에요.
열 칸에서 4칸 간격은 1·5·9, 2·6·10, 3·7, 4·8을 각각 묶어요. 7칸 간격은 1·8, 2·9, 3·10을 이어요. 이 세 연결을 더하면 앞의 네 묶음이 모두 합쳐져 열 칸은 한 색이에요.
그런데 아홉 칸에서는 3·10이라는 마지막 연결이 없어요. 다음 두 색 무늬를 실제로 검사해 볼까요?
4칸 또는 7칸 떨어진 자리의 색은 모두 같지만, 세 번째와 일곱 번째의 B는 A와 달라요. 따라서 아홉 칸만으로 한 색을 강제할 수 없어요. 같은 두 간격인데 한 칸의 길이 차이가 결론을 바꿔요.
일반적인 길이 조건도 증명할 수 있어요. p,q는 양의 정수, d는 두 수의 최대공약수다. 유한 띠가 p,q 두 주기를 가지고 다음 길이를 만족하면 d도 주기예요.
단순히 두 간격이 모두 나뉜다는 이유만으로 결론 내리면 아홉 칸 반례를 설명하지 못해요. 필요한 길이를 유지하면서 간격을 줄이는 논증을 쓸게요. p≤q로 놓고, 두 간격의 합이 더 작은 경우에서 이미 증명됐다고 하는 귀납을 해요. p=q이면 d=p여서 출발 조건 자체가 결론이에요.
p<q일 때는 앞의 n−p칸만 남겨요. 이 짧은 띠는 p주기를 그대로 가져요. q−p간격도 가져요. 허용된 i≤n−q에서 q주기로 한 번 간 뒤 p주기로 되돌아가면
필요한 길이도 남아 있어요. p와 q−p의 최대공약수는 d이고, 새 길이는 n−p≥q−d입니다. 이는 새 두 간격의 합 p+(q−p)에서 d를 뺀 값이에요. 두 간격의 합은 q로 줄었으므로 귀납을 적용해 앞부분은 d주기를 가져요.
끝의 p칸은 왜 빠뜨려도 될까요? q−p는 양의 d배수이므로 q≥p+d이고, 처음 길이는 n≥2p입니다. 따라서 끝의 각 자리 j에서 j−p는 남긴 앞부분에 있어요. p주기로 색이 같고 d는 p를 나누므로 같은 d간격 묶음의 색을 그대로 가져와요. 앞부분의 d주기가 전체 띠에도 이어져요. 이로써 길이 조건 아래의 결론을 모든 양의 p,q에 대해 증명했어요.
4와 7의 최대공약수는 1이고 경계 길이는 4+7−1=10입니다. 주기1은 바로 모든 색이 같다는 뜻이므로 앞의 작은 검사가 일반 논증과 연결돼요. 그러나 띠 밖에 새로운 색을 놓아도 현재 조건을 어기는 것은 아니에요. 이 증명은 보이지 않는 무한 띠의 색까지 확정하지 않아요.
Fine와 Wilf의 원문은 두 주기열의 일치 길이에 정확한 경계가 있음을 보여 줘요. 여기서는 그 알려진 정리를 유한 색 띠의 조건으로 읽고, 작은 연결 검사·반례·간격을 줄이는 증명을 자체 문항으로 구성했어요. 교사는 ‘반복이 보인다’는 말 대신 어떤 두 자리가 같아야 하는지와 두 자리 모두 범위 안인지 표시하게 해요. 두 주기 조건을 만족하는 무늬들의 진리집합이 한 색 무늬의 집합에 포함되는지 따져 보는 질문이에요. 사진은 색 띠의 소재를 떠올리는 용도이며 실제 직물의 규격 검사 자료는 아니에요.
출처·착안: N. J. Fine and H. S. Wilf, Uniqueness Theorems for Periodic Functions, Theorem1 (1965). 유한 띠의 문항·두 색 배열·등식 연결과 설명은 자체 교육용이다.