공을 던지는 순서가 반복되면, 처음 던진 공도 그때 돌아올까요?

공을 잡는 순서가 하나의 순환이면 공도 하나라고 세어도 될까요? 세 박자마다 명령을 반복하는 두 시간표를 비교해 봐요. h_i는 i박자에 던진 공을 다시 잡기까지의 양의 정수 박자 수예요. 모든 정수 시각에서 한 공을 잡고 즉시 다시 던지는 정상 상태만 다뤄요.

착지 나머지 순열은 완전히 같아요. 하지만 두 번째 목록에서 0박자에 던진 공을 직접 따라가면 0→4→8→9입니다. 같은 명령 자리 0으로 돌아오는 데 9박자가 걸려요. 명령 목록은 3박자마다 반복되어도 개별 공이 그때마다 돌아오는 것은 아니에요.

일반 주기 m에서 착지 나머지의 한 순환에 속한 비행시간 합을 S라 해 볼까요? 한 바퀴 뒤에 같은 나머지로 돌아오므로 S는 m의 양의 정수배예요.

시작 나머지가 i이면 그 자리가 등장하는 실제 시각은 i+qm입니다. 공 하나가 순환을 한 바퀴 지나면 q가 k만큼 늘어나요. 따라서 q를 k로 나눈 나머지가 같은 시각들끼리 한 공의 이동줄을 만들어요. 다른 나머지의 줄은 합쳐지지 않아요. 이 순환에는 정확히 k=S/m개의 공이 있어요.

첫 목록은 S=3이라 한 공이에요. 두 번째는 S=9라 세 공이며, 0·3·6박자에서 시작하는 세 줄로 나뉘어요. 예를 들어 3박자의 공은 3→7→11→12로 움직여 첫 공과 별개예요.

모든 순환에 대해 S/m을 더하면 전체 공 수는 비행시간 목록의 합을 m으로 나눈 값이에요. 이 계산은 나머지 순환 개수와 달라요. 주기의 나머지만 적은 그림은 한 바퀴에서 실제 시간이 얼마나 흐르는지 버려요.

교사는 같은 화살표 그림에서 공 수까지 같다고 결론 낸 답에, 실제 박자 번호를 붙여 한 공을 따라가게 해요. 빈손에서 시작하는 준비 과정, 두 공의 공간 충돌, 실제 묘기의 수행 가능성은 이 정상 상태 시간표가 결정하지 않아요.

착안: Carl Bracken, Site Swap Juggling, Bridges 2008, 219–220쪽. 원전의 주기·비행시간 정의에서 나머지 순환과 실제 시간축의 차이를 자체 예와 일반 증명으로 구성했어요. 원전 도표나 문항의 번역이 아니에요.