수평 바닥과 수직인 두 벽 사이에 길이 a,b인 직선 사다리 두 개를 교차해 놓아요. 각각 한 벽의 바닥에서 반대 벽의 양수 높이에 닿아요. 통로 폭을 d, 교차 높이를 h라 해 볼까요? 두 사다리를 두께 없는 선분으로 보는 자체 평면 모형이에요.
a=b=5일 때 h=2인 통로 폭을 구해 볼까요? 이어 임의의 a,b>0에서 가능한 교차 높이 전체를 구하고, 주어진 높이가 가능한 경우 폭이 유일한지 증명해 볼까요?
벽에 닿는 높이를 A=√(a²−d²),B=√(b²−d²)라 두면 둘 다 양수예요. 교점의 바닥을 기준으로 나눈 두 가로 길이는 dh/A,dh/B입니다. 두 길이 합이 d라서
d가 커질수록 A와 B는 모두 엄격히 작아져 그 역수 합은 엄격히 커져요. 따라서 H는 허용범위에서 연속이고 엄격히 감소해요. 양끝 극한은
두 높이는 허용폭에서 얻지 못해요. 연속성에 의해 그 사이의 모든 높이는 실제 폭에서 얻으며, 엄격감소로 그 폭은 하나뿐이에요. 필요충분조건은 0<h<ab/(a+b)입니다. a=b=5이면 H(d)=√(25−d²)/2이므로 h=2에서 d=3입니다.
존재 논증도 확인해 볼까요? 두 극한 사이에 h를 잡으면 충분히 작은 허용폭에서 H(d)>h이고, 충분히 큰 허용폭에서는 H(d)<h입니다. 그 두 폭 사이의 닫힌구간에 사잇값의 정리를 적용하면 H(d)=h인 폭이 있어요. 감소한다는 설명만으로 중간 높이의 존재까지 생략하지 않아요.
길이가 다른 경우도 같은 분류를 써요. a=5,b=√73에서는 폭3일 때 벽높이가4와8이고 교차높이는8/3입니다. 실제로 이 값을 만드는 폭은 유일해요. 사다리 길이만 정했을 때는 폭마다 교차높이가 바뀌지만, 가능한 교차높이까지 정하면 그 폭이 하나로 좁혀진다.
MathWorld 원문은 교차높이의 역수 관계에서4차방정식을 얻어요. 이 문항에서는 모든 대수적 근을 풀기 전에 양수 폭의 범위와 높이의 엄격감소를 직접 증명했어요. 예를 들어 같은 길이5의 사다리는 h=5/2에 가까워질 수 있지만 그 높이는 폭0을 요구해 제외돼요. h=0도 양의 벽높이에서의 교차가 아니에요.
교사는 사잇값 정리에서 얻는 “적어도 하나”와 엄격감소에서 얻는 “하나뿐”을 다른 근거로 적게 해요. 원문의 기하 관계를 사용한 자체 이상 모형이며, 실제 사다리의 두께·미끄러짐·안전 조건이나 건물의 측정 오차를 계산한 결과는 아니에요.
출처·착안: Eric W. Weisstein, Crossed Ladders Problem. 자체 수치·문항·전체 양립 조건과 유일성 증명은 새로 작성했다.