해시계에도 한 시간마다 같은 각도의 눈금을 그리면 될까요? 태양의 시간각은 한 시간에 15도씩 바뀌지만, 판 위의 그림자 방향각이 그 값과 같다는 뜻은 아니에요. 두 각을 같은 것으로 적으면 중간 시간선을 잘못 놓을 수 있어요.
다음은 시간선 관계에서 착안한 모형이에요. 정오부터 지난 태양시를 t시간이라 하고 0≤t<6으로 제한해요. H는 시간각, θ는 정오선과 눈금 사이의 방향각이에요. 기울어진 막대와 판의 관계를 반영한 상수 k는 0<k≤1입니다. 모든 각도는 라디안으로 계산해요.
허용 범위에서 탄젠트는 엄격히 증가하므로 θ는 하나로 정해져요. k=1이면 θ=H라 눈금을 한 시간에 15도씩 나누어도 맞아요. 그러나 k<1이면 모든 중간 양의 H에서 k tan H<tan H이고, 따라서 θ<H입니다. 시간각과 눈금각을 그대로 같은 수로 쓰는 방법은 틀려요.
예를 들어 k=1/2인 자체 값을 넣어 볼게요. 한 시간의 H는 15도지만 θ는 약 7.63도예요. 두 시간에서는 H가 30도이고 θ는 약 16.10도예요. 첫 시간의 눈금 간격은 약 7.63도, 둘째 시간은 약 8.47도로 이미 달라요. 이 숫자들은 실제 장치 측정값이 아니라 주어진 관계식의 계산값이에요.
눈금 간격이 정오에서 멀어질수록 커지는 것도 일반적으로 증명할 수 있어요. 두 각의 관계를 H로 미분하면 sec²θ에 θ′를 곱하는 합성함수의 미분이 필요해요. 정리한 변화율과 분모를 따로 적어 볼게요.
0<k<1이면 0<H<π/2에서 sin²H가 엄격히 증가해요. D(H)는 양수를 유지하면서 엄격히 줄어들어요. 따라서 θ′(H)는 엄격히 증가해요. 같은 길이의 인접한 두 H 구간에서 평균값 정리를 쓰면, 뒤 구간의 평균변화율이 더 커요. 그래서 허용 범위 안에 있는 연속한 한 시간들의 눈금 간격은 정오에서 멀어질수록 커져요.
정오 방향은 모든 k에서 θ=0이고, H가 π/2에 가까워지면 θ도 π/2에 가까워져요. 두 경계 방향이 같아도 그 사이의 눈금이 같은 것은 아니에요. 더구나 이것은 실제 여섯 시간 뒤에 햇빛과 그림자가 관측된다는 보장이 아니라 주어진 각도 관계의 경계 극한이에요.
교사는 각도 15도 옆에 ‘시간각’인지 ‘판 위의 방향각’인지 먼저 쓰게 해요. 사진의 눈금이 고르게 보인다는 이유로 시간을 등분했다고 판단하지 않아요. 이 글은 주어진 태양시와 시간선 모형을 검사하며, 경도와 균시차를 보정한 표준시나 날씨·설치 정확도까지 계산하지 않아요.
착안: Tony Belk, Declination Lines Detailed, BSS Bulletin19(iii), p.138의 식(3)·(5). 원문의 시간각·시간선각 관계에서 k로 고정한 자체 눈금 검사와 모든 k의 조건을 구성했어요. 원문 도판·설치 지시·특정 해시계 측정값의 번역이 아니에요.