기타 줄을 어디서 당겼는지, 소리에 들어 있는 두 성분으로 알아낼 수 있을까요? 여기서는 실제 녹음 대신 처음 줄의 모양을 정확히 줘요. 줄의 양 끝을 좌표 0과 1에 고정하고, 중간 위치 α를 위로 높이 h만큼 당긴다. 0<α<1, h>0이며 줄의 초기 모양은 두 직선으로 된 삼각형이에요. 왼쪽 끝과 위쪽 방향도 미리 정해요.
UNSW의 설명은 이상적인 현에 여러 진동 성분이 있으며, 실제 현의 굵기와 강성은 이상 모형과 차이를 만든다고 알려 줘요. MIT 자료는 처음 모양에서 사인 성분의 계수를 적분으로 구해요. 이 글은 그 정의를 삼각형 모양에 적용해 위치를 되찾는 자체 질문이에요. 마이크로 잰 소리 크기를 곧바로 이 계수라고 두지는 않아요.
차수 n은 양의 정수이고, 사인 계수 Aₙ은 다음과 같이 정의해요. 이 계수에는 부호가 있어요. ‘첫째 성분이 얼마만큼 있다’라는 설명에서 크기만 말하면 이 정보가 빠질 수 있어요.
두 구간으로 적분을 나눈 뒤 각각 부분적분하면 이 결과를 얻어요. k=nπ라 두면 왼쪽 적분은 h/α에 −α cos(kα)/k+sin(kα)/k²를 곱한 값이에요. 오른쪽 적분은 h/(1−α)에 (1−α) cos(kα)/k+sin(kα)/k²를 곱한 값이에요. 두 값을 더하면 코사인 항이 지워지고, 정의의 2를 곱하여 위 계수가 돼요. 끝점에서 sin(nπ)=0이라는 조건도 썼어요.
첫째 계수는 항상 양수예요. 0<πα<π에서 사인이 양수이고 나머지 인수도 양수이기 때문이에요. 둘째 계수와 첫째 계수의 비를 r이라 해 볼까요? 두 배 각의 사인 관계를 쓰면 높이 h가 사라져요.
코사인은 0부터 π까지 엄격히 감소해요. 따라서 이 열린 범위에 있는 비 하나마다 α가 정확히 하나 정해져요. 높이는 첫째 계수에서 되찾아요. 위치만 구하고 높이가 다른 삼각형을 그대로 허용하는 답은 주어진 두 계수의 정보를 모두 쓰지 않은 거예요.
이제 역방향도 확인해 볼까요? 임의의 A₁>0과 −1/2<r<1/2를 주면 cos(πα)=2r를 만족하는 내부 위치 α가 하나 있어요. 위 식으로 정한 h도 양수예요. 이 삼각형의 첫째 계수는 A₁이고 둘째 계수는 rA₁이므로 자료를 실제로 만들어요. 그러므로 이것이 부호 있는 두 계수의 정확한 허용 조건이에요. r=±1/2는 줄의 끝을 당기는 극한에 해당할 뿐, 이번 내부 위치로는 만들 수 없어요.
예를 들어 A₁=9√3/(2π²), A₂=9√3/(8π²)이면 비는 1/4입니다. 따라서 cos(πα)=1/2여서 α=1/3이고 h=1입니다. 둘째 계수의 부호만 반대로 바꾸면 α=2/3, h=1이 돼요. 왼쪽에서 당겼는지 오른쪽에서 당겼는지는 그 부호가 알려 줘요.
크기만 기록했다면 무엇이 남을까요? b=|A₂|/A₁가 0<b<1/2이면 r=b와 r=−b가 모두 가능해요. 두 위치는 α와 1−α로 서로 반사된 모양이고 높이는 같아요. b=0이면 중앙 α=1/2 하나만 남아요. b≥1/2인 자료는 이 모형에서 불가능해요. 가능한 경우와 두 후보인 경우, 한 후보인 경우를 각각 구분해야 해요.
크기 정보에 다른 차수를 더한다고 좌우가 구별되는 것도 아니에요. 삼각형을 반사하면 모든 차수에서 계수가 Aₙ(1−α)=(-1)ⁿ⁺¹Aₙ(α)로 변해요. 홀수 차수는 그대로이고 짝수 차수는 부호만 바뀌므로 모든 계수의 크기가 같아요. 따라서 크기만으로는 중앙을 제외한 두 후보를 끝까지 구별할 수 없어요. 이는 주파수를 적게 잰 탓이 아니라, 기록 방식이 부호를 버렸기 때문이에요.
교사는 두 삼각형을 좌우로 그려 첫째 성분과 둘째 성분의 역할을 나누어 보게 해요. 제공 교재의 사인·코사인 정의와 부분적분을 계산에 사용했지만, 이 위치 복원 문항이 교재에 실려 있다는 뜻은 아니에요. 실제 음향 분석에서는 시간 기준, 초기 모양, 감쇠와 관측 장치가 더 필요해요. 여기서 얻은 유일성은 정해 둔 초기 삼각형과 공간 사인 계수에 대한 결론이에요.
착안: UNSW, Strings, standing waves and harmonics, MIT 18.310, Fast Fourier Transforms, §1. 자체 초기 모양·수치·역문항·증명이며 원문 그림과 음원을 옮기지 않았어요.