여러 종류의 씨앗을 뽑으려면, 개수도 꼭 같아야 할까요?

세 종류의 씨앗을 모두 12개 모아 두었어요. 개체들은 서로 구별되며, 씨앗을 되돌려 넣지 않고 k개를 선택해요. 모든 k개 부분집합은 같은 확률로 뽑힌다고 가정해요. 관측되는 종류 수의 기댓값(확률을 반영한 평균)을 가장 크게 하려면 종류별 씨앗 수도 반드시 같아야 할까요? 다음은 실제 채집 자료가 아닌 자체 교실 모형의 정확한 값이에요.

2개를 뽑으면 첫 구성이 더 나아요. 하지만 10개를 뽑으면 첫째와 둘째 구성 모두 세 종류를 반드시 만나요. 남겨 두는 씨앗이 두 개뿐이어서 세 개 이상 있는 종류를 통째로 놓칠 수 없기 때문이에요. 가장 좋은 구성이라는 말과 가장 좋은 구성이 하나뿐이라는 말은 구별해야 해요.

일반적으로 전체 N개를 S종류로 나누고 각 종류의 개수 nᵢ는 양의 정수라고 해 볼까요? N≥S≥1, 1≤k≤N이며 nᵢ의 합은 N입니다. R은 선택한 씨앗 수가 아니라 한 번 이상 관측된 종류의 개수예요. i종류를 한 번도 뽑지 않는 부분집합은 나머지 N−nᵢ개에서 k개를 고른 것들이에요.

조합의 위 수가 아래 수보다 작으면 그 값은 0으로 정해요. 각 표본에서 종류별 출현 여부를 0 또는 1로 써서 더하면 R입니다. 이를 모든 표본에 걸쳐 평균 내면 위 식이 돼요. 종류들이 나타나는 사건이 서로 독립이라고 가정할 필요는 없어요. 첫 표도 이 식에 각 구성을 넣어 얻었어요.

고른 구성이 왜 최대인지는 한 개를 옮겨 보면 돼요. 종류별 개수가 a,b이고 b≥a+2일 때 큰 쪽에서 작은 쪽으로 씨앗 하나를 옮기자. f의 한 칸 증가량을 다음처럼 써요.

k≥2에서는 Δf(n)이 L=N−k+1에 도달하기 전까지 엄격히 감소하고 그 뒤에는 0입니다. 따라서 옮긴 뒤의 기댓값은 줄지 않으며, 작은 쪽의 개수 a가 L보다 작으면 반드시 늘어나요. 같은 이동을 계속하면 개수들의 제곱합이 줄어서 유한 번 뒤 모든 개수의 차이가 1 이하인 구성에 도달해요. 고른 구성이 최대라는 결론이에요.

이제 모든 최대 구성을 찾아봐요. q를 N/S의 정수부분, r을 N−Sq로 놓아요. k=1이면 표본은 한 종류만 만나므로 모든 구성이 기댓값 1로 최적이에요.

k≥2이고 q<L이면, 최적 구성의 개수는 q 또는 q+1뿐이에요. q+1인 종류는 정확히 r개예요. 그렇지 않은 구성에는 차이가 2 이상인 두 종류가 있고 가장 적은 종류의 개수는 L보다 작아요. 한 개를 옮기면 기댓값이 엄격히 늘어나므로 최적일 수 없어요. 종류 이름을 바꾸는 경우 외에는 이 구성만 남아요.

반대로 q≥L이면 최댓값은 S입니다. 이때는 모든 종류에 L개 이상만 있으면 돼요. 표본 밖에는 N−k=L−1개만 남으므로 어느 종류도 통째로 놓칠 수 없어요. 한 종류라도 L개 미만이면 그 종류를 피하는 표본이 실제로 존재해 기댓값이 S보다 작아요. 따라서 개수가 서로 달라도 모두 최적일 수 있어요. k=N이면 L=1이어서 모든 양의 구성에서 이 경우가 성립해요.

교사는 고른 구성의 계산값만 확인하게 하지 않고, 어느 이동에서 값이 엄격히 늘고 어느 이동에서 그대로인지 묻게 해요. 표본이 커졌을 때 최적 구성의 가족이 넓어지는 경계는 평균 계산 한 번만으로 드러나지 않아요. 실제 생태계의 종 수, 계통수 가지 길이, 채집 비용을 같은 목적값으로 바꾸는 결론도 아니에요.

착안: FAO의 단순무작위 비복원 추출 정의, §5.2·5.2.1와 Nipperess·Matsen의 rarefaction 정의. 원문의 선택 규칙을 명시하고 종류별 정수 구성의 전체 최적 조건을 자체 문항과 증명으로 만들었어요. 원문의 생태 관측값이나 계통수 도판을 사용하지 않았어요.