평면의 직각삼각형에서는 한 직각변을 고정하고 다른 직각변을 늘리면 빗변도 길어진다. 지구본 표면에서 직각으로 갈라진 두 경로도 같을까요? 여기서 거리는 지구본 속을 뚫는 선분이 아니라 표면의 짧은 호예요.
반지름 1인 완전한 구에 다음 세 점을 놓아요. b와 c는 라디안이며 0<b,c<π입니다. 북쪽 꼭대기를 A로 보고, B와 C는 서로 직각인 두 대원 방향을 따라 A에서 내려간 점이에요.
AB와 AC의 짧은 호 길이는 각각 b와 c입니다. A에서의 두 표면 접선 방향은 (1,0,0)과 (0,1,0)이므로 구 위의 각은 직각이에요. 그렇다고 세 점을 곧은 선분으로 이은 공간삼각형의 A각까지 직각이라는 뜻은 아니에요.
이제 AC의 호 길이 c를 고정하고 AB의 길이 b를 늘려 볼까요? BC의 짧은 호 길이를 a라 하면, 그 호의 중심각도 반지름 1에서는 a입니다. 길이 1인 두 위치벡터 OB, OC의 내적을 좌표로 계산하면 다음 관계를 얻어요.
이 내적은 A의 구면각을 구하는 계산이 아니라 O의 중심각을 구하는 계산이에요. 시작점 이름을 바꿔 읽으면 호 길이와 직각을 섞게 돼요.
0<b<π에서 cos b는 엄격히 줄어들어요. 하지만 여기에 곱한 cos c의 부호에 따라 결과는 달라져요. cos a도 0<a<π에서 엄격히 줄어드는 함수라는 점까지 함께 읽어 볼까요?
| 고정한 호 c | b가 늘어날 때 a |
|---|---|
| 0<c<π/2 | 엄격히 증가 |
| c=π/2 | π/2로 일정 |
| π/2<c<π | 엄격히 감소 |
구의 둘레는 2π입니다. 고정한 경로가 둘레의 1/4보다 짧으면 평면에서 익숙한 증가가 나타나지만, 1/4이면 맞은편 호가 그대로이고 1/4보다 길면 오히려 줄어들어요. 비교 중 움직이는 B는 A에서 더 멀어지는 동시에 고정된 C에 가까워질 수 있어요.
자체 예로 c=2π/3을 고정할게요. b=π/6에서는 cos a=−√3/4이고, b=π/3에서는 cos a=−1/4입니다. 뒤 값이 더 크므로 a는 약 2.0186에서 1.8235로 줄어들어요. AB가 두 배로 늘었어도 BC는 짧아졌어요. 사진의 구를 실측한 기록이 아니라 주어진 좌표의 계산값이에요.
허용 범위는 중요해요. b,c를 0이나 π로 놓으면 꼭대기 또는 반대쪽 점에 도달해 지금의 세 점과 짧은 호 조건이 달라져요. 여기서는 그 끝점을 제외했으므로 B와 C가 같거나 대척점일 수 없고, a의 가지도 0<a<π로 하나예요. 긴 쪽 호를 택하거나 지구본 속의 현 길이로 바꾸는 문제도 아니에요.
교사는 ‘직각’ 옆에 평면의 두 선분인지, 구면의 두 접선인지 적게 해요. 그 뒤 길이를 늘리는 위치와 고정한 다른 호의 범위를 같이 확인하게 해요. 반지름이 R인 구에서는 세 길이가 각각 Rb,Rc,Ra가 되며 증가 방향의 분류는 그대로예요. 실제 지구의 지형·기상·운항 거리까지 설명한 모형은 아니에요.
착안: John C. Polking, The Geometry of the Sphere, Spherical distance and isometries·Angles on the sphere. 원저자는 Rice University의 교사 연수 자료를 작성했고 링크는 CUNY의 보존 사본이에요. 구면 거리·각의 정의를 명시한 뒤 자체 점 배치와 고정 호에 따른 증가 방향을 분류했어요. 원문의 실습 문항·그림·문장을 번역하지 않았어요.