두 액체를 층으로 놓고 긴 막대를 세로로 넣었어요. 위로 미는 부력과 아래로 당기는 무게가 같아지는 높이는 꼭 하나일까요? 막대의 밀도를 알았으니 높이도 바로 정해진다는 답을 살펴봐요. 실제 실험 대신 경계를 고정한 이상적인 힘 모형을 써요.
위 액체의 밀도는 ρ₁, 아래 액체는 ρ₂이며 0<ρ₁<ρ₂입니다. 위층의 두께는 T>0, 막대의 높이는 H>0이고 단면적 A는 일정해요. 막대의 밀도 σ도 양수예요. 아래층은 충분히 깊어 바닥과 닿지 않아요. 막대는 회전하지 않으며 공기의 부력, 마찰, 계면 장력을 제외해요. 액체의 층 경계는 그대로 둬요.
위 액체 표면을 깊이 0으로 정하고 막대 밑면의 깊이를 y≥0으로 쓸게요. 막대가 차지하는 높이 구간은 [y−H,y]입니다. 그중 위 액체와 겹친 길이를 ℓ₁, 아래 액체와 겹친 길이를 ℓ₂라 해요. NASA Glenn의 부력 정의에서 출발해, 각 층에서 밀어낸 부피에 해당 밀도를 곱하는 자체 모형을 정해요.
따라서 높이 문제는 J(y)=σH의 모든 해를 구하는 문제예요. 단면적과 중력가속도는 양수여서 약분된다. 잠긴 전체 길이만 계산하면 밀도가 다른 두 부분을 구별하지 못해요.
먼저 위층이 막대보다 두껍거나 같은 T≥H인 경우예요. 밑면이 0에서 H까지 내려오면 공기 중 부분이 줄면서 J가 ρ₁y로 늘어나요. H부터 T까지는 막대 전체가 위 액체 안에 있어 J=ρ₁H로 일정해요. T를 지나면 위 액체 부분이 아래 액체로 바뀌며 다시 늘어나요.
σ=ρ₁이면 [H,T] 전체가 힘의 평형이에요. T>H에서는 높이가 무수히 많고 T=H에서는 한 높이만 남아요. 0<σ<ρ₁이면 y=σH/ρ₁로 유일해요. ρ₁<σ<ρ₂이면 y=T+H(σ−ρ₁)/(ρ₂−ρ₁)로 유일해요. 각 식을 구한 뒤 해당 구간에 실제로 들어가는지 확인해요.
이제 위층이 얇은 T<H인 경우예요. 막대가 위 액체에 전부 잠겨 머물 구간이 없어요. 밑면이 T에 닿은 뒤에는 아래 액체에 들어간 길이가 늘고, 윗면은 아직 공기 중에 있을 수 있어요. 구간을 나누면 다음과 같아요.
처음 세 구간의 기울기는 ρ₁, ρ₂, ρ₂−ρ₁로 모두 양수예요. 경계값도 서로 이어져요. 따라서 0<σ<ρ₂인 모든 밀도에서는 높이가 정확히 하나예요. σ=ρ₁도 예외가 아니에요. 이때 중간 구간에서 y=T+ρ₁(H−T)/ρ₂를 얻으며 T<y<H를 만족해요.
자체 수치로 H=2, ρ₁=1, ρ₂=2, σ=1을 놓을게요. 모든 길이와 밀도는 각각 같은 단위를 써요. T=3이면 밑면 깊이 2부터 3까지 어느 값도 평형이에요. T=1로 바꾸면 깊이는 3/2 하나뿐이에요. 막대의 밀도는 같지만 위층의 두께가 답의 개수를 바꿔요.
두 경우 모두 σ=ρ₂이면 막대 전체가 아래 액체에 들어간 모든 y≥T+H에서 평형이에요. σ>ρ₂이면 J의 최댓값 ρ₂H보다 무게 쪽 값이 커져 해가 없어요. 이 결론은 힘이 같아지는 위치를 분류한 거예요. 실제로 놓은 막대가 어떤 속도로 움직이거나 회전에 안정적인지는 계산하지 않았어요.
교사는 가능한 높이를 하나 찾은 답과 모든 높이를 찾은 답을 나누어 읽어요. 평평한 구간에서 한 지점만 고르면 유일성을 잘못 붙이게 돼요. 제공 교재의 연립방정식 소거는 두 액체 안의 길이 합과 힘의 관계를 푸는 기초에 연결해요. 층 경계와 높이 구간의 검사까지 그 교재의 공식 하나가 대신해 주는 것은 아니에요.
착안: NASA Glenn, Buoyancy: Archimedes Principle. 두 액체층의 조건·막대 자료·구간별 식·전체 해 분류는 자체 작성했으며 원문의 수치 문항과 사진을 옮기지 않았어요.