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저항 세 개를 별 모양으로 잇는 대신 삼각형으로 이어도, 밖에서는 같은 회로처럼 보이게 만들 수 있어요. 그러면 별의 가운데 접점에 연결을 하나 더 붙여도 같은 결과일까요? 먼저 ‘밖’에서 연결할 수 있는 곳이 몇 개인지 확인해야 해요.
다음은 실제 장치를 측정한 자료가 아니라, 전하가 접점에 쌓이지 않는 이상적인 정상상태 직류 모형이에요. 밖의 세 접점 전압을 V₁,V₂,V₃, 가운데 전압을 U라 해 볼까요? 세 저항의 역수를 양수 a,b,c로 쓰면 외부에서 가운데로 향하는 전류는 다음과 같아요. 음수 전류는 그 반대 방향을 뜻해요.
여기서 저항의 역수는 같은 전압 차에서 얼마나 큰 전류가 흐르는지를 식에 나타낸 계수예요. 가운데에 다른 연결이 없으면 세 전류의 합이 0입니다. 한 미지수 U를 풀면 다음 값을 얻어요.
가운데 전압은 마음대로 정한 상수가 아니에요. 밖의 세 전압을 바꾸면 함께 바뀌는 값이에요. 이를 첫 전류에 대입해 소거해 볼까요?
이 식은 외부 1번 점에서 2번 점으로 가는 저항의 역수를 ab/S, 1번에서 3번으로 가는 값을 ac/S로 한 삼각형의 전류예요. 2번과 3번 사이에는 bc/S를 놓아요. 다른 두 접점도 같은 전개로 일치해요. 우연히 한 번 전류가 같아진 것이 아니라, 모든 실수 V₁,V₂,V₃에 대해 외부 세 전류가 같아요.
이제 별의 가운데 접점에 다른 연결을 붙여 추가 전류 J가 가운데로 들어오게 해 볼까요? 같은 부호 규칙에서 전류 보존은 I₁+I₂+I₃+J=0입니다. U를 다시 풀어야 해요.
따라서 밖의 세 전압이 같더라도, 두 모형의 외부 세 전류가 모두 같을 필요충분조건은 J=0입니다. 세 계수가 양수여서 추가 전류가 0이 아니면 각 차도 0이 아니에요. 별의 세 외부 전류 합은 −J인데 삼각형에서는 각 변의 전류가 양끝에서 반대 부호로 세어져 합이 0이라는 점으로도 차이를 확인할 수 있어요.
자체 값 a=1,b=2,c=3을 쓰고 외부 전압을 (3,0,0)으로 정할게요. 가운데가 다른 곳과 연결되지 않았을 때 U=1/2이며 외부 전류는 (5/2,−1,−3/2)입니다. 삼각형으로 바꿔도 그대로예요. 하지만 가운데를 U=0에 유지하는 새 연결을 붙이면 별의 외부 전류는 (3,0,0)입니다. 이때 가운데에서 추가 연결로 3만큼 나가므로 J=−3입니다. 삼각형의 세 접점만으로는 이 새 연결까지 나타내지 못해요.
새 연결이 있다는 사실만으로 매 순간 결과가 다르다고 단정하지는 않아요. 특정 외부 전압에서 J=0이면 그때의 세 응답은 여전히 같아요. 다만 세 단자만 노출한 모형의 등가를, 가운데까지 네 번째 단자로 쓸 수 있는 모형의 등가로 넓힐 수는 없어요.
교사는 가운데 미지수를 지우는 계산 뒤에, 그때 사용한 전류 합 0의 조건을 다시 적게 해요. 밖에서의 응답을 보존하는 변환과, 연결 가능한 곳을 늘려 조건 자체를 바꾸는 일은 구별해야 해요. 실제 회로 조립·계측이나 전원 장치의 안전성을 검증한 글은 아니에요.
착안: Tony R. Kuphaldt, Lessons In Electric Circuits, DC, Δ-Y and Y-Δ conversions 및 Kirchhoff’s Current Law. 외부 세 단자에서의 등가라는 정의와 전류 보존을 읽고, 가운데 추가 연결의 조건을 묻는 자체 문항과 증명을 작성했어요. 원문의 브리지 수치·회로 그림·표·SPICE 출력은 옮기지 않았어요.