작은 원판에 방향을 알아볼 수 있는 표시를 하나 붙여요. 이 원판을 고정된 큰 원의 가장자리를 따라 미끄러지지 않게 굴린다. 중심이 출발점으로 돌아왔으면 표시도 처음 방향일까요? 표시 없는 원판은 회전해도 겉모양이 같아 보이므로, 중심 위치와 표시 방향을 따로 기록해야 해요.
고정된 원의 반지름은 R, 움직이는 원판의 반지름은 r이고 R>r>0이라 해 볼까요? 큰 원 밖에서 굴리는 경우와 안쪽 벽에서 굴리는 경우를 비교해요. 원은 변형되지 않으며 접촉점에서 미끄러짐이 없는 자체 모형이에요. 실제 마찰이나 장치를 검증하는 실험은 아니에요.
큰 원 중심을 기준으로 작은 원판의 중심이 돈 각을 θ라 해요. 반시계 방향을 양수로 정하고 θ는 계속 증가시킨다. 원판에 붙인 표시의 방향이 처음보다 변한 각은 φ입니다. 이 각도 고정된 작업대에서 바라보고 반시계 방향을 양수로 잰다. 한 바퀴를 나타내는 각은 2π입니다.
먼저 원 밖을 볼까요? 원판의 중심은 반지름 R+r인 원을 따라가요. 중심의 접선 방향 속도는 (R+r)θ′입니다. 접촉점은 원판 중심에서 큰 원을 향한 반대쪽에 있으므로, 원판의 회전이 만드는 접선 속도는 −rφ′입니다. 고정된 벽과 닿은 순간의 접촉점 속도가 0이라는 조건을 써요.
처음 두 각의 변화량을 0으로 두었어요. 중심이 한 바퀴 돌 때 원판 자체는 R/r+1 바퀴를 돌아요. 큰 원의 둘레를 작은 원의 둘레로 나눈 R/r만 쓰면, 중심이 따라가는 원의 반지름에서 r을 빠뜨려요. 같은 크기의 두 원을 바깥에서 굴리는 경계 R=r에서는 두 바퀴 회전하는 익숙한 결과가 나와요. 안쪽 모형에는 이 경계를 적용하지 않아요.
안쪽에서는 중심이 반지름 R−r인 원을 따라가요. 이번 접촉점은 원판 중심에서 큰 원의 바깥을 향한 쪽에 있어요. 따라서 접촉점의 회전 속도 부호가 바뀌어요.
중심은 반시계로 돌지만 표시의 회전은 시계 방향이에요. 안팎에 같은 공식이나 같은 부호를 사용해서는 안 돼요. 반지름비를 R/r=3/2로 정하면, 중심의 첫 한 바퀴 동안 밖에서는 5/2바퀴, 안에서는 시계 방향 1/2바퀴를 돌아요. 두 경우 모두 표시가 반 바퀴 뒤집혀 돌아와요.
그렇다면 중심과 표시가 함께 처음으로 돌아오는 것은 언제일까요? 중심이 출발점인 때는 θ=2πk인 양의 정수 k바퀴째다. 표시 방향도 같으려면 φ가 2π의 정수배여야 해요. 밖에서는 k(R/r+1), 안에서는 −k(R/r−1)이 정수여야 해요. 정수 k를 더하거나 빼도 정수 여부는 바뀌지 않으므로, 두 조건은 모두 kR/r가 정수라는 조건으로 바뀌어요.
k p/q가 정수이면 서로소 조건 때문에 q가 k를 나눠요. q바퀴에서는 실제로 두 상태가 돌아오므로, 그보다 이른 양의 전체 복귀는 없어요. 3/2 예에서는 두 바퀴째가 처음이에요. 그동안 밖의 원판은 반시계로 5바퀴, 안의 원판은 시계로 1바퀴 회전해요. 같은 전체 복귀 시점에서도 회전수와 방향은 달라요.
반지름비가 무리수라면 정확한 전체 복귀가 없어요. 어떤 양의 정수 k에서 kR/r가 정수이면 R/r도 정수/k인 유리수가 되어 모순이에요. 중심은 매 바퀴 돌아와도 표시 방향까지 정확히 돌아오지는 않아요. 눈으로 거의 같아 보인다는 관측을 정확한 복귀로 바꾸어 읽지 않아요.
교사는 회전수 옆에 기준점과 방향을 적게 해요. 한 바퀴 공전, 원판 자체의 회전, 중심과 표시의 전체 복귀를 세 칸으로 나누면 답의 대상을 분명히 할 수 있어요. 제공 교재의 일반각과 호도법은 같은 방향을 2π의 정수배 차이로 읽는 기초예요. 구름의 접촉 속도와 반지름비에 따른 분류는 별도의 확장이에요.
착안: Karl Schaffer, How is a Polygon Like a Circle?, MoMath, Puzzling Circles. 회전과 공전의 구별에서 착안해 안팎의 접촉 조건·자료·전체 복귀 증명을 자체 작성했어요. 원문 활동 지시·문항·그림을 옮기지 않았어요.