포물선의 거리, 준선 위 아무 점까지 재면 될까

초점이 $F$,준선이 $l$인 포물선 위에 $P$가 있는지 판단하라. $PF\ne PH$이므로 포물선 위가 아니라는 풀이도 검토하라.

$P$는 포물선 위의 점이다. 준선까지의 거리는 준선 위 아무 점까지의 거리가 아니다. $P$에서 준선에 내린 수선의 발 $(4,-2)$까지의 길이로 재야 한다.

$(4,2)$를 방정식에 넣어도 $16=16$으로 확인된다. 두 거리를 비교한 판정과 방정식 대입이 같은 결론을 주는지 답안에 함께 남긴다.

교사는 초점과 준선 위 점H를 같은 색으로 강조하지 않는다. H를 꼭 재야 할 점처럼 읽게 할 수 있기 때문이다. 학생에게 수선의 발을 스스로 표시하게 하면 ‘점까지’와 ‘직선까지’의 거리를 구별했는지 보인다.

후속 후보 $Q(2,2)$는 초점까지2,준선까지4이므로 포물선 위가 아니다. 두 후보의 높이는 같지만 초점까지의 거리가 달라진다. 높이만 같은 점들을 모두 포물선 위로 고르는지도 확인한다.

제곱하여 얻은 방정식의 역방향도 점검한다. $x^2=8y$이면 $y\ge0$이고 두 거리 모두 음이 아니므로 제곱이 같은 두 거리는 같다. 이 문제에서는 제곱 과정에서 다른 점이 추가되지 않는다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Wax Paper Parabolas」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.