장치 6개를 동시에 시험한 자체 기록이에요. 제거는 고장 징후를 보고 정한 것이 아닌 외부 시험 일정 때문이며, 제거 순간에는 정상 작동했어요. 아래 곱 규칙으로 4시간 직후 작동 비율을 추정해요. 고장 2개를 초기 6개에서 빼서 4/6이라고 쓰면 같은 값인가? 일반 n≥3개에서 두 고장 사이 c개를 제거한 경우도 비교해 볼까요? 0≤c≤n−2인 정수이고 그 밖 고장은 없어요.
| 시각 | 사건 | 바로 전 시험 중 정상 장치 수 |
|---|---|---|
| 2시간 | 한 개 고장 | 6 |
| 3시간 | 정상 두 개 제거 | 5 |
| 4시간 | 한 개 고장 | 3 |
| 6시간 | 남은 두 개 시험 종료 | 2 |
각 n_i는 해당 고장 직전 시험 중 정상 장치 수예요.
2시간의 인자는 5/6입니다. 3시간에는 고장 사건이 없어서 새 인자를 곱하지 않아요. 다만 두 장치가 나가 4시간의 분모는 3이고 그때의 인자는 2/3입니다. 따라서 4시간 직후 추정값은 5/9이며 4/6보다 작아요. 현재 시험에 남은 2개를 초기 6개로 나눈 1/3도 같은 추정값이 아니에요.
두 고장 사이 c개를 제거했다면 두 번째 고장 직전 수는 n−c−1입니다. 직접 빼서 정리하면
모든 허용 n,c에서 분모는 양수예요. c=0이면 초기 분모의 계산과 같고, c>0이면 그 계산은 곱 추정값보다 커요. 중간 제거가 있는데도 계속 같은 분모로 읽은 차이가 정확히 이 식에 남아요. c=n−2이면 마지막 남은 장치가 두 번째로 고장 나 추정값은 0입니다. 마지막 고장 뒤에도 정상 장치가 남는 경우까지 언제나 0이라고 할 수는 없어요.
NIST의 Kaplan-Meier 설명은 고장 직전 수를 분모로 쓰고, 정상 상태로 제거된 장치는 이후 분모에서 빼요. 여기서는 원문 20개 시험표를 숫자만 바꾸지 않고 두 사건 사이 제거 수에 따른 차이를 일반식으로 만들었어요. 이 규칙으로 계산한 추정값이 실제 모집단 확률과 정확히 같다는 증명은 아니에요. 제거가 잠재 고장 시각과 관련된 선택이면 이 추정법의 이용 조건부터 다시 확인해야 해요.
교사는 고장과 관측 종료를 서로 다른 표시로 남기게 해요. 제거 장치를 고장으로 처리하는 답과, 제거 뒤에도 분모에 남기는 답은 서로 반대 방향의 오류예요. 단순 비율과 곱 규칙의 차이가 0이 되는 조건을 먼저 설명하면 공식을 계산기에 넣기 전 자료의 뜻을 검토할 수 있어요.
착안 원문: NIST/SEMATECH 8.2.1.5 — Kaplan-Meier product-limit approach. 수치·표·문항·풀이를 새로 만든 교육용 모형이며 원문 자료의 실제 관측값을 보고한 것이 아니에요.