교육용 버스 시간표는 아래 네 간격을 순서대로 반복해요. 도착 시각은 한 20분 주기 안에서 연속 균등하게 고르고, 다음 버스는 모두 탈 수 있어요. 네 간격 평균이 5분이면 다음 버스까지의 평균 대기 W도 2.5분인가? 실제 노선 조사 자료가 아닌 자체 정확 시간표예요.
| 순서 | 첫 간격 | 둘째 간격 | 셋째 간격 | 넷째 간격 |
|---|---|---|---|---|
| 길이(분) | 2 | 2 | 8 | 8 |
길이 2인 각 간격 안에 도착할 확률은 2/20이고, 길이 8인 각 간격은 8/20입니다. 네 간격을 1/4씩 고른 뒤 안에서 시각을 고르는 규칙은 주어진 도착 법이 아니에요. 한 간격 길이가 T이면 그 안의 남은 대기는 T부터 0까지 줄어 평균 T/2입니다. 시간 비중까지 곱하면 평균 대기는 (2²+2²+8²+8²)/(2×20)=17/5분이에요.
일반적으로 n개의 양수 간격 Tᵢ가 한 주기를 이루고 L이 그 합이면, 간격의 산술평균 μ=L/n과 간격 분산(값들이 평균에서 얼마나 흩어져 있는지 나타내는 양) σ²=Σ(Tᵢ−μ)²/n을 쓸 수 있어요.
두 번째 등식은 ΣTᵢ²=n(μ²+σ²)를 대입한 거예요. μ>0이므로 단순한 절반에 붙는 항은 음수가 아니며, 모든 간격이 같을 때만 0입니다. 평균 간격을 고정해도 흔들리는 간격은 시간으로 뽑힐 비중과 그 안의 대기 길이를 함께 늘려요.
Masuda와 Porter는 긴 간격이 시간축에서 더 자주 선택되는 이유를 설명해요. 여기서는 원문의 4분/12분 시각표를 변주하는 대신 임의의 양수 간격에 대한 추가항과 등호 조건까지 직접 유도했어요. 버스 지연의 실제 원인이나 평균값의 표본 추정 오차를 분석한 결과는 아니에요.
교사는 무작위로 고른 것이 네 간격의 번호인지 한 주기 안의 시각인지 먼저 적게 해요. 평균 5분은 맞는 계산으로 남겨 두고, 다른 무작위 선택의 평균으로 옮긴 2.5분만 고쳐요. 길이가 다른 네 구간을 같은 너비 막대로 그려 판단하지 않는지도 확인해요.
착안 원문: Naoki Masuda and Mason A. Porter (2021), The Waiting-Time Paradox. 수치·표·문항·풀이를 새로 만든 교육용 모형이며 원문 자료의 실제 관측값을 보고한 것이 아니에요.