세 파장에서 빛의 값을 기록했어요. 두 값의 비율만 보면 한 온도를 붙일 수 있어도, 세 번째 값까지 같은 온도로 설명할 수 있을까요? 다음은 실제 온도계의 측정 대신, 알려진 복사식을 정확히 따르는 자체 모형이에요.
파장은 ℓ, 2ℓ, 4ℓ이고 ℓ는 양수예요. 양수 온도 T인 한 성분의 파장별 값 B를 다음 식으로 줘요. K와 C는 같은 단위 체계에서 알려진 양수 상수예요. 실제 흑체의 Planck 식에서는 K=2hc², C=hc/k에 해당해요.
유한 개의 성분을 양수 계수 aᵢ로 합쳐 세 값을 Y₁, Y₂, Y₄라 쓸게요. 같은 성분의 계수는 세 파장에서 동일해요. 가산 배경이나 파장마다 다른 감도·방사율, 측정오차는 현재 모형에 없어요. 세 값을 모두 같은 양수로 곱해도 변하지 않는 다음 두 비율을 비교해요.
한 온도일 때 두 비율은 어떤 관계일까요? x=exp(C/(4ℓT))라 두면 x>1입니다. 지수의 배수 관계와 x²−1=(x−1)(x+1)을 사용해 y=1/(x+1)로 바꾸면 u=y, v=f(y)를 얻어요.
예를 들어 u=1/4라면 한 온도에서 나오는 v는 정확히 1/40입니다. 그런데 v=19/520을 기록했다면? 한 온도 식과는 맞지 않지만, 서로 다른 두 온도의 합계로는 가능해요. 두 성분의 y가 1/6과 1/3이고 4ℓ 채널에서의 비중이 각각 1/2이면, u는 1/4이고 v는 (f(1/6)+f(1/3))/2=19/520입니다. 이 비중은 원래 aᵢ 자체가 아니라 긴 파장 채널에 기여하는 양의 비중이에요.
가능한 모든 기록을 판정해 볼까요? pᵢ=aᵢB(4ℓ,Tᵢ)/Y₄로 두면 pᵢ는 양수이고 합은 1입니다. 따라서 u는 yᵢ의 가중평균, v는 f(yᵢ)의 가중평균이에요. 함수를 두 번 미분하면
입니다. 0<y<1/2에서 분모는 양수이고, 2y²−6y+3은 1/2보다 커요. 그러므로 f′가 엄격히 증가해요. u에서의 접선과 비교하면 f(y)≥f(u)+f′(u)(y−u)이며 y=u에서만 등호예요. 이를 pᵢ로 더하면 뒤의 일차항은 0이 되어 v≥f(u)를 얻어요. 등호는 모든 yᵢ가 같을 때만 생겨요. y와 양수 온도는 일대일이므로, 모든 성분의 온도가 같을 때와 정확히 일치해요.
위쪽 경계는 다른 방식으로 구해요. 0<y<1/2에서 f(y)<y/2입니다. 분모를 곱하면 이 부등식은 2y²<1−2y+2y², 즉 y<1/2와 같아요. 가중합도 엄격한 부등식을 유지해요.
이 범위가 필요하다는 것만으로 끝내지 않아요. 범위의 모든 값도 만들 수 있어요. 먼저 아래 경계 v=f(u)는 y=u인 한 온도로 만들어요. 그 위의 값에는 0<s<1을 골라 y₋=su, y₊=1/2−s(1/2−u)를 두고, 비중을 각각 1−2u와 2u로 정해요. 둘의 가중평균은 계속 u입니다.
s가 1에 가까우면 두 y가 u에 가까워져 v도 f(u)에 가까워져요. s가 0에 가까우면 y₋는 0, y₊는 1/2에 가까워지고 v는 u/2에 가까워져요. 중간의 v는 연속이며 s가 커질수록 엄격히 줄어들어요. 미분하면 u(1−2u){f′(y₋)−f′(y₊)}<0이기 때문이에요. 따라서 모든 내부 값은 서로 다른 두 온도만으로 만들어요.
실제 모형의 계수도 되돌릴 수 있어요. 각 y에 T=C/{4ℓ ln(1/y−1)}를 대응시키고, 원하는 Y₄>0에 대해 aᵢ=pᵢY₄/B(4ℓ,Tᵢ)로 정하면 모두 양수이며 세 값을 만들어요. 위 경계 u/2는 양수 유한 온도에서는 얻지 못해요. 경계에 가까워지는 모형과 경계를 실제로 만드는 모형은 달라요.
교사는 ‘한 온도에는 맞지 않는다’와 ‘어떤 온도 혼합에도 맞지 않는다’를 다른 판정으로 읽게 해요. 아래 경계는 같은 온도, 그 위의 허용 내부는 서로 다른 온도, 전체 영역 밖은 이 모형의 불가능한 기록이에요. 온도와 계수의 전체 목록을 유일하게 알아냈다는 결론은 아니에요.
BIPM 원문은 실제 복사 온도 측정에 대역, 감도, 기하요소와 기준온도 조건이 필요하다고 설명해요. 여기의 정확한 세 파장값과 양수 합계는 자체 수학 문제이며, 사진 색이나 실제 장치의 출력만으로 온도를 판정하는 절차를 제안하지 않아요. 제공 교재의 이계도함수 정의를 계산에 사용했지만 세 채널 혼합의 전체 허용영역이 교재에 실려 있다는 뜻은 아니에요.
착안: BIPM CCT, kelvin의 실제 구현 지침, §4.2.1–4.2.3. 알려진 복사식만 사용하고, 세 파장 합계의 자료·판정·전체 범위와 역구성 증명은 자체 작성했어요. 원문 도판·실험값·보정 절차를 전재하지 않았어요.