삼각형 판의 바깥 색을 그대로 두고 가운데 점의 색만 바꾸면, 세 색을 모두 가진 작은 삼각형도 같은 수로 남을까요? 여기서 색은 삼각형 내부를 칠한 색이 아니라 각 꼭짓점에 붙인 표지다.
큰 삼각형의 꼭짓점 A,B,C를 각각 색 1·2·3으로 정해요. AB 위에 A,D,E,B 순서로 두 점을 놓고 D는 색 2, E는 색 1을 줘요. 내부 점 O를 바깥 다섯 점에 모두 이어 다섯 조각을 만들어요. O만 바꿔 볼까요?
O가 색 1일 때는 BCO만 세 색이에요. 색 3일 때는 ADO,DEO,EBO가 세 색이에요. 테두리와 분할선은 그대로인데 개수가 늘었어요. 다만 두 결과는 모두 홀수예요. 우연일까요?
임의의 유한 분할을 생각해 봐요. 작은 삼각형들은 빈틈 없이 큰 삼각형을 덮고 내부가 겹치지 않아요. 만나는 곳은 서로 공통인 꼭짓점이나 변이에요. 한 변 끝에 다른 삼각형의 꼭짓점이 중간에 붙는 분할은 이 조건에 포함하지 않아요. 모든 점에는 색 1·2·3 중 하나를 줘요.
양끝 색이 1과 2인 변에 표시를 해요. 바깥의 표시 변 수를 b, 내부의 표시 변 수를 i라 해 볼까요? 한 변이 붙은 작은 삼각형마다 표시를 한 번씩 세어요. 바깥변은 한 조각에 붙고 내부변은 두 조각에 붙으므로 합은 b+2i입니다.
이번에는 작은 삼각형마다 세어요. 세 색을 모두 쓰면 표시 변은 한 개예요. 색 1과 2를 모두 쓰되 색 3은 없으면 두 개예요. 그 밖에는 없어요. 세 색 삼각형 수를 r, 두 색 1·2만 쓴 삼각형 수를 s라 쓰면 같은 전체를 다음처럼 센 거예요.
따라서 r과 b는 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수예요. 테두리의 색을 고정하면 b가 고정되므로 내부 색을 전부 바꿔도 r의 홀짝은 바뀌지 않아요. ‘개수가 같다’와 ‘홀짝이 같다’는 다른 결론이에요. 앞의 1개와 3개는 바로 이 차이를 보여요.
또 다른 조건을 빼 볼까요? 큰 삼각형의 세 꼭짓점만 서로 다른 색이면 충분할까요? AB의 내부점 D에 색 3을 주고 DC 하나로 두 조각을 만들면 ADC는 색 1·3·3, DBC는 색 3·2·3입니다. 세 색 조각이 하나도 없어요. 큰 꼭짓점만 확인한 답은 맞지 않아요.
각 큰 변 위에서 그 변의 양끝 색만 허용하면 결론이 달라져요. AB는 색 1에서 시작해 색 2로 끝나므로 색 전환이 홀수 번이에요. 다른 두 큰 변에는 1–2변이 없어요. 따라서 b가 홀수이고 세 색 조각도 홀수 개, 적어도 하나예요. 이는 알려진 Sperner 보조정리의 조건이며 그 정리 자체를 새로운 발견으로 주장하지 않아요.
교사는 바깥에서 결정되는 양을 정확한 개수로 읽었는지, 큰 삼각형의 세 꼭짓점만 보고 변 위의 색 제한을 생략했는지 물어요. 제공 교재의 합의 법칙으로 서로 겹치지 않는 삼각형 분류를 합칠 수 있지만, 이 분할 정리 전체가 교재에 있다는 뜻은 아니에요. 실제 학생 반응이나 퍼즐 완제품의 성능을 측정한 글도 아니에요.
착안: Rich Schwartz, Notes on Sperner’s Lemma, Brown University, 1–3쪽의 Second Proof. 변과 삼각형의 짝을 두 방식으로 세는 설명을 읽고, 같은 테두리에서 개수가 달라지는 자체 다섯 조각과 꼭짓점만 맞춘 두 조각 반례를 만들었어요. 원문 그림·배치·문장을 옮기거나 고정점 정리까지 증명했다고 하지 않아요.