길이 1,2,…,n을 순서대로 그린 뒤 같은 목록을 반복하는 자체 문항이에요. 원점에서 동쪽으로 시작하고, 각 선분 직후 왼쪽으로 90도씩 꺾는다. n번째 선분 뒤에도 꺾는다. 위치는 길이 목록을 전부 마친 때만 검사해요.
한 목록 뒤의 가로·세로 변화량을 D라 해 볼까요? 네 선분1,2,3,4의 변화는 동·북·서·남 방향이므로 (−2,−2)입니다. 이후 네 개씩도 같은 변화가 더해져요. n=4k+r로 쓰면 다음 표를 얻어요.
n≥1이면 어떤 행에서도 D=(0,0)이 아니에요. 이제 R(x,y)=(−y,x)를 왼쪽90도 회전으로 정의할게요. 다음 목록의 변화량은 첫 목록의 D를 n번 회전한 값이에요. 같은 길이 목록이라고 같은 이동량을 더하는 것은 아니에요.
n이 4의 배수면 매 목록의 방향이 처음과 같아서 D가 계속 더해져요. m개 목록 뒤는 mD이고 원점으로 돌아오지 않아요. n을 4로 나눈 나머지가 2면 변화량은 D,−D라 최소 2개 목록으로 돌아와요.
n이 홀수면 90도나 270도씩 목록 방향이 바뀌어요. 네 변화량 D,R^nD,−D,−R^nD는 합이 0입니다. 하나의 D도, 서로 수직인 두 변화량의 합도 0이 아니며 세 개의 합은 남은 하나의 음수이므로 0이 아니에요. 최소 4개 목록이 필요해요.
The Wessens의 반복 선분 규칙을 참고해 일반 n의 끝 경계를 직접 검토했어요. 중간 선분에서 원점을 지나는지나 도형의 교점 개수까지 이 결론으로 확대하지 않아요. 교사는 총 회전각뿐 아니라 첫 목록의 변화량이0인지 함께 확인하게 해요.
착안: The Wessens, Spirolaterals. 일반 분류 문항·좌표 논증은 새로 작성했어요.