반지름 R인 완전한 구면에서 북극 N이 지도 중심이에요. 북극에서 중심각 c만큼 떨어진 점을 같은 방위의 지도 반지름 ρ=Rc에 놓아요. 구면의 거리는 두 점 사이 짧은 대권호의 길이로 정해요. 적도의 A,B는 경도가 90도 차이 나고 지도에서도 두 반지름이 직각이에요. 지도에서 잰 NA,NB가 모두 실제와 같으면 AB도 같을까요?
두 적도점 사이 짧은 대권호는 적도의 1/4바퀴이므로 실제 AB는 πR/2입니다. 지도에서는 두 반지름이 길이 πR/2의 직각삼각형을 만들어요. 따라서 다음 값이 달라요.
중심부터 A,B까지는 구면 호와 지도 반지름이 각각 πR/2로 정확히 같아요. AB만 √2배가 된 이 한 쌍이면 모든 점쌍 거리를 보존한다는 결론을 반박하기에 충분해요. 구면 속을 가로지르는 공간 현의 길이는 지금 정한 표면 거리와 다른 값이므로 계산에 섞지 않아요.
Snyder의 USGS 원문은 이 투영의 정확한 거리가 중심에서 재는 거리임을 명시하고 북극형 식을 줘요. 지도는 구면의 두 점 사이 최단거리 표 전체를 같은 비율로 옮긴 것이 아니에요. 실제 특정 도시나 항공요금을 측정한 예는 사용하지 않아요.
“정거리”라는 이름 뒤에 기준점과 거리의 종류를 적어 봐요. 지도 현, 구면 대권호, 공간 현을 각각 다른 선으로 표시하면 중심의 두 정확한 측정이 세 번째 측정까지 보장하지 않는 이유가 드러나요.
착안 원문: John P. Snyder, Map projections—A working manual (USGS Professional Paper 1395, 1987). 원문의 중심 거리 보존 성질을 바탕으로 두 적도점의 배치와 구면 호·지도 현의 거리 비교를 자체 문항으로 만들었어요.