별이 지평선에 한 번 닿았다는 기록만으로, 한 번 떠오르고 한 번 졌다고 말할 수 있을까요? 별을 점으로 보고 지구가 한 바퀴 도는 동안 그 방향의 기울기를 고정한 자체 모형을 쓸게요. 공기의 굴절, 별의 겉보기 크기, 산과 건물은 제외해요.
관측 위도를 φ, 적도면에서 별 방향이 기울어진 각을 δ라 해 볼까요? −π/2≤φ≤π/2, −π/2<δ<π/2입니다. h는 일정한 속도로 증가하는 한 바퀴의 각이며, 0과 2π는 같은 위치로 세어요. 고도의 사인값이 z일 때 지평선 위는 z>0입니다.
이 식의 기하 관계도 확인할 수 있어요. 길이가 1인 수직방향 좌표 (cosφ,0,sinφ)와 별 방향 좌표 (cosδ cosh,cosδ sinh,sinδ)를 내적하면 z가 나와요. 수직방향과 별 방향 사이 각은 고도의 여각이어서 내적이 고도의 사인값이에요.
문제는 z=0인 위치 수만 찾는 것으로 끝나지 않아요. 여기서 ‘떠오름’은 음수에서 양수로, ‘짐’은 양수에서 음수로 바뀌며 지평선을 통과하는 사건으로 정의해요. 같은 쪽으로 되돌아가는 접촉은 두 사건에 포함하지 않아요. 모든 허용 위도와 δ에서 접촉 위치, 뜸·짐의 횟수, 엄격히 위에 있는 시간의 비율 F를 분류해 볼까요?
먼저 B>0이면 최소 높이의 사인값은 A−B, 최대는 A+B입니다. 제공 교재의 코사인함수 치역(함수가 실제로 내놓는 값의 범위) −1≤cos h≤1을 옮긴 거예요. 한 바퀴의 양수 구간 길이를 전체 각도 2π로 나누면 F를 얻어요. 시간이 아니라 높이의 범위를 나눌 수는 없어요.
| A와 B의 관계 | 지평선에 닿는 위치 | 뜸·짐 | F |
|---|---|---|---|
| A>B | 없음, 항상 위 | 둘 다 0회 | 1 |
| A=B | h=π 한 곳, 아래쪽 접촉 | 둘 다 0회 | 1 |
| −B<A<B | 서로 다른 두 곳, 실제 통과 | 각각 1회 | α/π |
| A=−B | h=0 한 곳, 위쪽 접촉 | 둘 다 0회 | 0 |
| A<−B | 없음, 항상 아래 | 둘 다 0회 | 0 |
표의 가운데 경우에는 다음 각 α를 써요.
코사인은 0부터 π까지 엄격히 줄고 다음 반 바퀴에서 늘어나요. 따라서 α에서는 양수에서 음수로 바뀌어 지고, 2π−α에서는 음수에서 양수로 바뀌어 뜬다. arccos는 코사인값에 대응하는 0부터 π 사이의 각을 뜻해요.
A=B에서는 z=B(1+cos h)입니다. π에서만 0이고 그 양쪽에서 양수이므로 지평선을 가로지르지 않아요. 한 위치가 차지하는 시간의 길이는 0이어서 F=1이지만, 한 순간도 빠짐없이 엄격히 위에 있다는 뜻은 아니에요. A=−B는 z=B(cos h−1)로 같은 접촉을 아래쪽에서 만들어요.
극점도 따로 확인해야 해요. B=0이면 A로 일정해서 A>0은 F=1, A<0은 F=0입니다. A=0이면 한 바퀴 내내 지평선에 있어 엄격히 위에 있는 비율은 0입니다. 어느 경우에도 부호 횡단은 없어요. B로 나누는 가운데 공식을 극점에 그대로 쓰면 이 경우를 잃어요.
자체 예로 φ=75°, δ=15°이면 A=B=1/4입니다. 한 번 닿지만 뜸·짐은 없고 F=1입니다. 같은 위도에서 δ=−15°이면 A=−B=−1/4여서 한 번 닿고 F=0입니다. φ=90°, δ=0은 한 바퀴 내내 지평선이에요. 반면 δ=0이면서 극점이 아닌 위도에서는 A=0,B>0이므로 F=1/2이고 뜸·짐이 각각 있어요.
교사는 영점 수, 부호를 바꾼 횟수, 양수 구간의 길이를 서로 다른 열에 적게 해요. ‘한 번 닿는다’는 두 경계에서도 위에 있는 시간은 정반대다. 엄격한 부등호를 등호 포함으로 바꾸면 고립된 접촉점은 시간 비율을 바꾸지 않지만, 한 주기 내내 0인 극점 모형에서는 비율이 0에서 1로 바뀌어요.
착안: USNO의 지평선·뜸·짐 정의, 춘분·추분의 낮과 밤 설명, NOAA의 태양 위치 계산, 1–2쪽. 실제 태양의 일출·일몰은 원반 가장자리와 굴절 보정을 포함해요. 이 글은 그 관측 시각을 예측한 것이 아니라, 점 천체의 기하 모형을 분류한 자체 문항이에요. 원문의 도판이나 관측 자료를 옮기지 않았어요.