타원의 초점 카드를, 곡선 위 점 카드로 붙였을 때

\frac{(x+1)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{25}=1

이 타원의 정보 카드 “중심 $(-1,2)$ ,장축의 길이10,초점 $(-1,6)$ ”은 맞는가? 초점이 곡선 위의 점이라는 추가 문장도 판단하라.

a=5,\quad b=3,\quad c=\sqrt{25-9}=4

\begin{aligned} \text{초점 }&(-1,6),(-1,-2)\\ \text{장축의 꼭짓점 }&(-1,7),(-1,-3) \end{aligned}

첫 정보 카드는 맞지만, 초점이 곡선 위라는 문장은 틀리다. 초점 $(-1,6)$ 을 대입하면 $16/25$ 가 되어1이 아니다. 초점과 꼭짓점은 서로 다른 정보다.

교사는 중심에서 세로로5,가로로3 움직인 네 꼭짓점을 먼저 표시하게 한다. 큰 분모25가 $y$ 항 아래 있으므로 장축이 세로 방향이라는 근거를 남겨야 한다. $a$ 를 항상 $x$ 항과 연결하는 오답도 이 순서에서 보인다.

장축의 길이는 중심에서 꼭짓점까지의5가 아니라 양 끝 사이의10이다. 초점 사이의 거리는8이므로 이 문항에는5,8,10의 세 길이가 있다. 이름 없이 숫자만 쓴 정보 카드는 다시 연결하도록 한다.

후속 질문은 $(-1,7)$ 에서 두 초점까지의 거리 합을 구하게 한다. 거리는1과9이고 합은10이다. 방정식의 분모에서 읽은 장축의 길이와 타원의 정의가 같은 값으로 확인된다.

학생이 초점을 꼭짓점으로 그리면 그래프를 다시 그리기 전에 그 점을 원래의 식에 대입하게 한다. 같은 축 위라는 사실만으로 같은 역할의 점은 아니라는 검토가 가능하다.