추정식 성능을 검산할 자체 모형이에요. 물체 5개 중 2개에 표지를 붙이고 잘 섞은 뒤 2개를 비복원으로 균등하게 뽑아요. 모든 두 개짜리 표본 10가지는 같은 확률이에요. 표지가 붙은 물체가 m개 다시 뽑히면 다음 크기 추정값을 기록해요. 이 식은 항상 계산되지만, 기댓값도 실제 크기 5일까요? 표지는 없어지지 않고 표지 여부가 표집 기회에 영향을 주지 않아요.
표지 없는 3개에서 둘을 뽑는 표본은 3가지, 표지 있는 2개와 없는 3개에서 하나씩은 6가지, 둘 모두 표지 있는 표본은 1가지예요.
| 재포획 m | 표본 수 | 확률 | 추정값 |
|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 3/10 | 8 |
| 1 | 6 | 6/10 | 7/2 |
| 2 | 1 | 1/10 | 2 |
분모는 늘 양수지만 평균적으로 0.3 작게 추정해요. 개별 추정값이 언제나 5보다 작다는 뜻은 아니에요. m=0에서는 8로 더 커요. 모집단을 4개로 바꾸고 같은 2개 표지/2개 추출을 하면 표본 수는 m=0,1,2에서 1,4,1입니다. 그때 평균은 (8+4×7/2+2)/6=4로 참값과 같아요. 작은 설계의 정확한 기대값(확률을 반영한 평균)을 실제 표본확률과 함께 확인해야 해요.
NOAA의 Dettloff 원문은 Chapman 식의 유한 분모와 작은 표본의 편향/표본 크기 조건을 구별해요. 현재는 원문 어류 자료나 시뮬레이션 값을 옮기지 않고 다섯 물체의 모든 표본을 직접 열거했어요. 모집단 가정이 맞다는 것만으로 모든 작은 설계에서 정확한 불편성을 얻는다고 쓰지 않아요.
정의역(함수에 입력할 수 있는 값의 범위) 검사, 개별 오차, 모든 가능한 표본의 가중평균을 세 줄로 나누어 확인해 봐요. 추정식이 평균적으로 낮다는 결론과 매번 낮다는 결론을 혼동하면 표의 8을 반례로 사용할 수 있어요. 표본 수 10을 관측 한 번의 표집 크기 2와도 구별해요.
착안 원문: Kyle Dettloff (2023), Assessment of bias and precision among simple closed population mark-recapture estimators. 다섯 물체와 네 물체의 표집 모형·표·기댓값 계산은 자체 구성했으며 논문의 어류 관측값이나 시뮬레이션 결과를 옮긴 것이 아니에요.