평행하게 놓인 고리 두 개를 곧은 막대로 잇는다고 해 볼까요? 세 막대의 길이가 같았으니 나머지도 같은 길이로 준비해도 될까요? 어디를 서로 연결했는지부터 고정해야 해요.
아래 고리의 반지름은 r, 위 고리는 R이고 두 평면의 높이 차는 h입니다. r,R,h는 모두 양수예요. 아래 중심은 (0,0,0), 위 중심은 (dₓ,dᵧ,h)로 놓아요. 위 중심이 옆으로 어긋날 가능성도 허용해요.
아래에서 각 θ인 점은 위에서 θ+δ인 점에 연결해요. 모든 자리에서 같은 비틀림 δ를 쓰며 0≤δ<2π입니다. 세 축의 단위가 같은 공간 좌표에서 두 끝점은 다음과 같아요.
여기서 L(θ)는 두 끝점 사이 선분의 정확한 길이예요. 세 자리는 2π를 기준으로 서로 다른 각이에요. 길이가 비슷해 보인다는 관찰이나 오차가 있는 측정으로 바꾸지는 않아요.
삼각함수의 덧셈정리로 가로 방향 차를 정리해 볼까요? 고리의 반지름과 비틀림에서 정해지는 두 값을 α=Rcosδ−r, β=Rsinδ라 두면 차 벡터의 첫 두 성분은 dₓ+αcosθ−βsinθ와 dᵧ+βcosθ+αsinθ입니다. 공간벡터의 크기 공식을 제곱하면 길이의 방향 의존성이 두 항으로 모여요.
평면벡터 (U,V)와 (cosθ,sinθ)의 내적이 각에 따라 변하는 부분이에요. 서로 다른 세 각에서 길이가 같다면 Ucosθ+Vsinθ도 같은 k가 돼요.
U,V가 둘 다 0은 아니라고 가정해 볼까요? 단위원 위에서 Ux+Vy=k를 만족하는 점을 세 개 골라야 해요. 그러나 한 직선은 원과 최대 두 점에서 만나요. 직선의 식으로 한 변수를 없애 원의 방정식에 넣으면, 실근이 최대 두 개인 이차방정식이 되기 때문이에요. 그러므로 현재의 세 길이 동률에서는 U=V=0이어야 해요. 위 길이 식은 모든 θ에서 같은 값이 돼요.
이제 두 고리의 중심까지 맞아 있는지 살펴봐요. 다음 항등식은 ‘세 길이가 같다’와 ‘두 중심이 같은 수직선 위다’의 차이를 드러내요.
모든 길이가 같을 필요충분조건은 dₓ=dᵧ=0 또는 Q=0입니다. 반지름이 다르거나 δ가 0이 아니면 Q>0이므로 두 중심의 가로 좌표가 같아야 해요. 이때 공통 길이는 √(h²+Q)입니다.
예외도 있어요. r=R이고 δ=0이면 Q=0입니다. 같은 크기의 두 고리를 비틀지 않고 같은 방향끼리 잇는 경우예요. 위 고리를 옆으로 옮겨도 모든 막대의 차 벡터가 (dₓ,dᵧ,h)로 같아 길이는 √(h²+dₓ²+dᵧ²)입니다. 모든 막대 길이가 같다고 언제나 두 중심이 똑바로 위아래에 놓이는 것은 아니에요.
두 막대만 재도 될까요? 다음 예에서 고리 사이의 높이 차나 비틀림은 세 번째 막대를 잴 때도 바꾸지 않아요.
서로 반대쪽의 두 길이는 같지만 다른 자리의 길이가 달라요. 두 점은 같은 직선 위의 단위원 교점이 될 수 있고, 세 서로 다른 점은 그렇게 될 수 없다는 차이예요.
임의 두 검사 위치에서도, Q>0인 고리 모형의 가로 이동을 적절히 정하면 두 길이만 같고 나머지는 다른 예를 만들 수 있어요. 두 단위원점의 차에 수직인 0이 아닌 (U,V)를 고른 뒤, dₓ=(αU−βV)/Q와 dᵧ=(βU+αV)/Q로 놓으면 돼요. U,V가 모두 0은 아니므로 전체 길이 동률은 아니에요.
교사는 길이 세 개로 모든 자리의 동률을 얻은 논증과, 동률에서 중심 정렬을 얻은 논증을 따로 확인하게 해요. 두 번째에는 반지름과 비틀림의 예외가 남아요. 대응 규칙을 바꾸거나 평행한 두 고리라는 조건을 빼면 지금 식을 그대로 적용할 수 없어요.
착안: Swiss Science Center Technorama, Hyperbolic Slot의 설명을 읽었어요. 기울어진 곧은 막대를 돌려 쌍곡면을 만드는 전시에서 출발해, 두 고리의 일정한 각 대응과 길이 검사라는 자체 좌표 모형을 구성했어요. 전시 도판·틈의 설계 도면이나 실제 치수는 옮기지 않았고, 전시물의 강도나 실제 제작 성능을 확인한 자료도 아니에요.