양의 초점거리 f₁, f₂인 얇은 렌즈 두 개를 같은 매질에 놓고 간격 d≥0을 유지해요. 빛의 높이 x와 작은 기울기 u에 다음 자체 근축 계산 규칙을 적용해요. 실제 유한 각도나 두꺼운 렌즈의 성능을 재현하는 모형은 아니에요.
첫 배치는 L_f₁, P_d, L_f₂ 순서이고, 뒤집은 배치는 L_f₂, P_d, L_f₁ 순서예요. 입력은 여러 작은 높이의 평행 광선 (x,0)입니다. 출력이 (Ax,Cx)이면 C≠0일 때 유효초점거리 F=−1/C와 출력면을 기준으로 한 축 교점의 부호 있는 거리 b=−A/C를 정의해요. b>0이면 진행하는 쪽, b=0이면 출력면 자체의 교점이며, b<0이면 출력 광선을 뒤로 연장한 교점이에요.
렌즈를 뒤집어도 F가 같다면 진행하는 쪽의 교점이 있는지도 같을까요? 모든 f₁,f₂>0과 d≥0에서 두 거리 b의 부호와 서로 같아지는 조건을 구해 볼까요? C=0인 경우는 따로 판단해 볼까요?
첫 렌즈 뒤 상태는 (x,−x/f₁)이고 전진 뒤 높이는 (1−d/f₁)x입니다. 마지막 렌즈를 통과하면 출력 기울기의 계수는 −(f₁+f₂−d)/(f₁f₂)입니다. Δ=f₁+f₂−d라 두면 Δ≠0에서
F는 순서와 무관해요. 그러나 두 b가 같은 것은 d=0 또는 f₁=f₂일 때뿐이에요. 부호는 각 분자와 공통 분모 Δ의 부호로 정해져요. f₁<f₂인 경우는 다음과 같이 빠짐없이 나뉘어요.
| 간격 d | b₁₂ | b₂₁ |
|---|---|---|
| 0≤d<f₁ | 양수 | 양수 |
| d=f₁ | 0 | 양수 |
| f₁<d<f₂ | 음수 | 양수 |
| d=f₂ | 음수 | 0 |
| f₂<d<f₁+f₂ | 음수 | 음수 |
| d=f₁+f₂ | 유한 교점 없음 | 유한 교점 없음 |
| d>f₁+f₂ | 양수 | 양수 |
f₁>f₂이면 표에서 f₁과 f₂의 이름을 서로 바꾸어 간격 경계를 정하고 두 열도 바꿔요. f₁=f₂=f이면 두 거리는 항상 같으며, 0≤d<f에서 양수, d=f에서 0, f<d<2f에서 음수, d=2f에서 유한 교점 없음, d>2f에서 양수예요.
Δ=0일 때 C=0이고 출력 높이는 첫 배치에서 −(f₂/f₁)x, 뒤집은 배치에서 −(f₁/f₂)x입니다. 서로 다른 입력 높이가 남은 평행 광선이므로 유한 거리에서 모두 축에 모이지 않아요. 이때 F나 b를 0으로 적거나 0으로 나누어 계산하지 않아요.
예를 들어 f₁=2, f₂=3, d=5/2이면 F=12/5는 같지만 b₁₂=−3/5, b₂₁=2/5입니다. 순서만 바꾸어 진행하는 쪽 교점의 유무가 달라져요. 반대로 d>f₁+f₂에서는 F가 음수여도 두 b는 양수예요. F의 부호만으로 출력면 뒤의 교점 유무를 판단할 수 없어요.
MIT 강의는 유효초점거리와 출력면부터의 초점거리를 따로 정의해요. 그 정의와 주어진 두 계산 규칙을 사용하되, 정의 자체를 새로운 발견으로 세지 않아요. 여기서는 렌즈 순서 선택이 진행하는 쪽 교점의 존재를 바꾸는 모든 간격과 같은 초점거리의 경계까지 직접 분류했어요.
교사는 음수 거리의 뜻을 먼저 묻게 해요. 출력 광선을 뒤로 연장한 교점은 실제로 출력면 뒤에 도착하는 광선의 만남과 달라요. 서로 같은 F를 얻은 계산 다음에 두 b의 부호를 따로 적게 하면, 기준면을 생략한 설명을 확인할 수 있어요.
착안 원문: Nick Fang, MIT 2.71/2.710 Optics: Lecture 4 (18 February 2014). 초점거리·간격의 전체 조건과 자체 예의 교점 분류는 교육용 계산이며 실제 렌즈의 측정값이나 유한 각도에서의 성능을 보고한 것이 아니에요.