달력의 연도와 첫날 요일은 사라졌는데, 13일이 금요일이었던 달의 목록은 남았어요. ‘9월과 12월’이라는 기록으로 그해 달력 전체를 되찾을 수 있을까요? 목록의 개수만이 아니라 해당 달을 모두 아는 상황이에요.
보통의 12개월 길이를 써요. 2월은 평년이면 28일, 윤년이면 29일이며, 중간에 빠진 날짜는 없어요. 월요일을 0부터 일요일을 6으로 적고 1월 1일의 요일을 w로 나타내 볼게요. 평년이면 e=0, 윤년이면 e=1입니다.
서로 다른 14가지 달력 형태가 입력이고, 해당 달의 집합이 출력이에요. 특정 연도 숫자를 찾는 문제가 아니에요. 같은 형태의 달력을 쓰는 여러 연도가 있을 수 있어요.
달의 길이를 누적하고 7로 나눈 나머지만 남겨요. 평년에서 각 달 1일이 1월 1일보다 얼마나 뒤에 있는지 나타내는 나머지는 0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5입니다. 이를 순서대로 c₁,…,c₁₂라 해 볼까요? 윤년은 3월부터 하루가 더해져요.
예를 들어 평년의 1월 1일이 화요일이면 w=1입니다. 9월의 c₉=5와 12월의 c₁₂=5를 대입하면 두 달의 13일은 모두 금요일이에요. 그런데 1월 1일이 월요일인 윤년도 같은 두 달만 목록에 남겨요.
이처럼 같은 목록을 만드는 서로 다른 형태는 정확히 다음 세 쌍이에요. 각 행의 두 형태는 1월 1일 요일과 2월 길이가 서로 달라요.
| 같은 목록 | 서로 다른 두 달력 형태 |
|---|---|
| 9월·12월 | 평년의 첫날 화요일 / 윤년의 첫날 월요일 |
| 6월 | 평년의 첫날 수요일 / 윤년의 첫날 화요일 |
| 5월 | 평년의 첫날 토요일 / 윤년의 첫날 금요일 |
왜 더 없을까요? 3~12월의 c_m에는 0부터 6까지 모든 나머지가 들어 있어요. 평년에서 w가 정해지면 금요일이 되는 나머지 하나를 골라요. 같은 평년끼리 시작 요일이 다르면 고른 나머지가 달라, 뒤 열 달의 목록부터 달라져요. 윤년끼리도 같아요.
평년의 시작 요일 w와 윤년의 시작 요일 v를 비교해 봐요. 3월부터 윤년에는 하루가 더해지므로 두 목록이 같으려면 다음 관계가 필요해요.
서로 다른 나머지에 해당하는 달들은 겹치지 않고, 어느 나머지에 해당하는 달도 적어도 하나 있으므로 이 조건을 피할 수 없어요.
이제 1월과 2월을 확인해요. 1월 13일은 평년에서 w=6일 때 금요일이지만, 비교하는 윤년에서는 w=0일 때 금요일이에요. 따라서 w=0,6은 같은 목록을 만들지 못해요. 2월 13일도 평년에서는 w=3, 윤년에서는 w=4일 때만 금요일이어서 두 경우를 빼요. 남은 w=1,2,5가 표의 세 쌍이에요. 처음부터 14개를 모두 나열하는 대신, 뒤 열 달에서 시작 요일의 관계를 정하고 앞 두 달로 걸러 낸 거예요.
한 날짜의 요일을 더 알 수 있다면 어디를 확인해야 할까요? 답은 1월 1일부터 2월 28일까지의 어느 날짜든 가능해요. 세 쌍 안에서 두 달력은 아직 윤일을 지나지 않았고, 시작 요일만 하루 달라요. 따라서 그 날짜의 요일이 서로 달라요. 원래 목록이 같지 않은 형태들은 이미 구별되므로, 이 한 기록을 더하면 14가지 형태가 모두 갈린다. 정의역(함수에 입력할 수 있는 값의 범위)의 서로 다른 원소가 서로 다른 출력으로 가는 일대일함수의 조건과 연결돼요.
반대로 3월 이후의 요일은 도움이 되지 않아요. 윤년이 하루 늦게 누적되는 만큼 시작 요일은 하루 빨랐어요. 두 차이가 정확히 상쇄되어 각 쌍의 3월 1일부터 12월 31일까지 모든 날짜의 요일이 같아요. 그중 한 날짜가 아니라 여러 날짜를 더 확인해도 구별하지 못해요. 2월 29일은 평년에는 없으므로, 모든 후보에 존재하는 날짜를 묻는 이번 규칙에서는 고를 수 없어요.
교사는 ‘연도 번호’, ‘달력의 형태’, ‘금요일인 13일의 전체 목록’을 나누어 적게 해요. 빠진 자료를 더 수집한다는 제안에는 어느 달의 자료인지를 함께 물어요. 자료가 많다는 사실보다, 두 후보 사이의 차이가 아직 남아 있는 시기의 기록인지가 중요해요. 운수나 실제 학생 반응에 관한 결론은 아니에요.
착안: Bryant, Maddox and Nipper, Friday the Thirteenth의 전체 의미 본문과 연결된 모듈러 정의의 첫 문단을 읽었어요. 원문의 ‘매년 최소 한 번, 최대 세 번’ 질문과 표 자체는 새 문항으로 세지 않아요. 여기서는 전체 목록의 충돌과 추가 날짜의 전범위 판별 조건을 자체 증명했어요. 원문 표의 누락·오기와 수업 효과 주장도 정답이나 관측 증거로 사용하지 않았어요.