빛의 높이 x와 축에 대한 작은 기울기 u를 상태로 써요. 다음은 같은 매질 안의 근축 근사에서 착안한 자체 계산 규칙이에요. 실제 유한 각도의 광학을 정확히 재현하는 규칙이 아니에요. 길이는 같은 단위를 써요.
L_f는 양의 초점거리 f인 얇은 렌즈, P_d는 거리 d만큼의 전진이에요. 같은 기준면에서 두 광선 상태가 (x₁,u₁),(x₂,u₂)입니다. 같은 L_f와 P_d를 두 광선에 각각 적용해요. 새로 정의한 계산량 W=x₁u₂−x₂u₁이 매 단계 유지되는지 증명해 볼까요? 그렇다면 한 광선의 높이×기울기 xu도 유지된다고 말할 수 있나요? f=1에 작은 양의 ε를 사용해 검산해 보세요. W는 여기서 정의한 두 좌표의 계산량이며 실제 빛다발 단면의 넓이가 아니에요.
렌즈 단계에서는 높이가 그대로라
x₁(u₂−x₂/f)−x₂(u₁−x₁/f)=x₁u₂−x₂u₁입니다. 두 추가항 −x₁x₂/f와+x₂x₁/f가 지워져요.
전진 단계에서는 기울기가 그대로라
(x₁+du₁)u₂−(x₂+du₂)u₁=x₁u₂−x₂u₁입니다. 이번에는 du₁u₂와 −du₂u₁가 지워져요. 각 단계가 보존하므로 유한 개의 임의 순서 렌즈·전진을 거쳐도 W는 보존돼요.
한 광선의 곱은 보존되지 않아요. 두 번째 광선을 (0,ε)로 잡으면 L₁ 뒤에도 (0,ε)입니다. 이 쌍의 W는 앞뒤 모두 ε²지만 첫 광선의 곱은 앞뒤가 달라요. ε를 임의로 작게 잡아 작은 기울기 모형의 범위 안에서 비교할 수 있어요.
불변량의 식에 두 광선의 서로 다른 좌표가 들어갔다는 점이 핵심이에요. 두 광선이 처음부터 서로 배수이면 W=0도 보존되지만 그 사실이 한 광선의 모든 다른 양을 보존시키지는 않아요.
MIT 강의의 광학 불변량과 광선의 두 좌표 설명에서 출발했어요. 두 광선의 계산량을 W로 놓고 L/P 각각의 상쇄와 xu 반례를 직접 구성했어요. 알려진 광학 불변량 자체를 새로운 발견으로 세지 않아요. 원문의 특수 영상 조건에 쓰인 높이·각도 기호를 모든 단일 광선의 xu 보존 법칙으로 바꾸지 않아요. 매질이 바뀌거나 실제 큰 각도 광선을 다룰 때의 일반 광학 불변량까지 증명한 것은 아니에요.
교사는 “보존된다”라는 단어 옆에 정확한 식과 필요한 광선 개수를 적게 해요. 서로 다른 광선의 좌표를 섞는 항과 같은 광선의 좌표 곱을 바꾸어 쓰면 전개에서 지워지는 두 항 자체가 달라져요. 공식 이름을 외우기보다 두 단계에서 각각 상쇄를 확인할 수 있어요.
착안 원문: Nick Fang, MIT 2.71/2.710 Optics: Lecture 4 (18 February 2014). 두 광선의 계산량과 한 광선의 반례는 주어진 근축 규칙으로 직접 구성했으며 실제 광선 측정값이나 다른 매질의 일반 광학 결과를 보고한 것이 아니에요.