한 20분 주기마다 반복하는 시간표에 버스가 유한 번 도착하고, 모든 인접 도착 간격은 양수예요. 주기 안 연속 균등 시각에 도착해 다음 버스까지 기다린 시간을 W라 해요. 정확한 확률 S(w)=P(W>w)가 아래와 같아요. 간격의 개수와 길이를 복원하라. 그 순서까지 하나로 정해지나요? 관측값을 곡선에 적합한 결과가 아닌 자체 정확 확률 조건이에요.
길이 T인 간격 안에서 대기가 w보다 긴 시각들은 처음 max(T−w,0)분이에요. 따라서 모든 간격에 그 길이를 더해 20으로 나누면 S(w)입니다. 모든 간격이 양수인 유한 개수이므로 아주 작은 양수 w에서는 각각의 구간이 w만큼씩 줄어들어요. 기울기 −1/5에 20을 곱하면 간격이 4개임을 알 수 있어요.
2에서 기울기는 −1/5에서 −1/10으로 바뀌어요. 줄어드는 구간 수가 4개에서 2개로 바뀌었으므로 길이 2인 간격이 두 개예요. 2와 8 사이에 기울기 변화가 없고 8에서 0이 되므로 나머지 둘의 길이는 8입니다.
네 간격 합 20도 일치해요. 하지만 합 공식에는 순서가 없어요. (2,2,8,8)을 반복하는 시간표와 (2,8,2,8)을 반복하는 시간표는 같은 S를 줘요. 첫 시간표는 긴 간격끼리 이어지고 둘째는 긴 간격 사이에 짧은 간격이 있어, 원을 따라 시작점을 옮기는 것만으로도 서로 같아지지 않아요. 완전한 대기 분포가 있어도 실제 시각표의 모든 순서를 복원한 것은 아니에요.
원문은 시간으로 선택된 간격과 간격별 빈도표를 구별해요. 현재는 그 선택 원리를 거꾸로 사용해 꼬리 함수의 꺾이는 위치·기울기가 말해 주는 정보와 말해 주지 않는 순서를 나눴어요. 원문에 위 역문제나 두 시간표가 제시됐다고 설명하지 않아요.
교사는 그래프를 읽은 답에서 “두 간격은 2분, 두 간격은 8분”과 “어떤 순서인가”를 별도 줄로 쓰게 해요. 실제 측정한 몇 개 확률 점을 같은 정보라고 보지는 않아요. 이 문항은 전체 구간의 정확한 함수가 주어진 조건에서만 기울기로 개수를 복원해요.
착안 원문: Naoki Masuda and Mason A. Porter (2021), The Waiting-Time Paradox. 확률함수와 두 순환 시간표의 역산·비교는 자체 조건에서 구했으며 실제 노선의 대기 확률을 추정한 결과가 아니에요.