길이 L인 반죽 띠를 생각해요. 처음 높이는 모든 위치에서 H입니다. H>0, L>0이며, 두 가이드 높이는 0≤a≤b입니다. 다음은 실제 제품의 사용법이나 반죽의 변형을 재현한 설명이 아니라, 높이를 낮추기만 하는 자체 계산 규칙이에요. 눌린 높이가 옆으로 옮겨가거나 다시 늘어나는 과정은 넣지 않아요.
각 작업은 위치 x에서 기존 높이와 가이드 높이 중 작은 값을 새 높이로 정확히 정해요. 첫 작업의 가이드 높이는 g₁(x)=a+(b−a)x/L, 같은 가이드를 뒤집은 두 번째 작업의 가이드 높이는 g₂(x)=b−(b−a)x/L입니다. 제한보다 임의로 더 낮추는 규칙은 아니며, 이미 낮아진 부분을 다시 높이지 않아요. 0≤x≤L입니다.
완성된 띠에서 길이 w인 조각 하나를 잘라내요. 0<w≤L이며 시작 위치 s는 0≤s≤L−w입니다. 조각을 고르는 두 기준을 비교해 봐요. A는 조각의 평균 높이가 q 이상, B는 조각의 모든 위치에서 높이가 q 이상이에요. q≥0입니다.
모든 H,a,b,L,w,q에서 각 기준을 만족하는 조각의 존재 조건을 구해 볼까요? 가장 좋은 시작 위치도 구하고, A는 가능하지만 B는 불가능한 목표 높이가 언제 생기는지 분류해 보세요.
δ=b−a, m=(a+b)/2라 두면 두 작업 뒤의 높이는
첫 작업 뒤 min(H,g₁), 두 번째 뒤 min(min(H,g₁),g₂)이므로 이 식을 얻어요. 반전은 이미 낮아진 끝을 다시 높이지 않아요.
조각의 최소 높이를 u(s), 평균 높이를 v(s)라 해 볼까요? T는 가운데에 대해 대칭이고 가운데까지 비감소, 이후 비증가다. 따라서 조각의 최소는 두 끝 중 낮은 값이에요. 가운데에 놓는 시작 위치 s₀=(L−w)/2에서 이를 최대화해요. 최대 최소 높이는
어떤 길이 w의 조각도 한 끝은 중심에서 w/2 이상 떨어져 있으므로 U보다 좋은 최소 높이를 얻지 못해요. 가운데 조각은 두 끝의 거리가 정확히 w/2라 이 값을 실제 얻어요.
평균도 가운데 조각에서 최대예요. s≥s₀이면 T(s+w)≤T(s)입니다. s₀≤s₁<s₂≤L−w에서 구간분할과 변수이동을 쓰면
v(s₂)−v(s₁)=w⁻¹∫[s₁,s₂]{T(z+w)−T(z)}dz≤0입니다. 왼쪽은 대칭으로 반대예요. 따라서 가운데의 평균을 계산하면 전체 최댓값 V가 돼요.
δ=0이면 높이는 min(H,a)로 일정해서 U=V=min(H,a)입니다. δ>0에서도 H≤a이면 T=H이고 U=V=H입니다. 이제 δ>0, H>a만 볼까요? 가운데의 평평한 구간 길이를
로 정해요. a<H<m이면 높이 H에 닿은 가운데 구간이며, H≥m이면 평평한 구간은 없어요. 최대 평균은 다음과 같아요.
| 조건 | 최대 평균 V |
|---|---|
| a<H<m, w≤p | H |
| a<H<m, w>p | H−δ(w−p)²/(4Lw) |
| H≥m | m−δw/(4L) |
w>p인 가운데 조각에서는 양쪽 끝에 높이 H보다 낮은 삼각형 두 개가 남아요. 각 밑변은 (w−p)/2, 높이 차는 δ(w−p)/(2L)이므로, 합친 넓이 δ(w−p)²/(4L)를 w로 나누어 H에서 빼요. H≥m이면 p=0이고 중심 높이 m에서 같은 계산을 해요. H=m의 두 식도 서로 이어져요.
A의 존재 조건은 q≤V, B의 존재 조건은 q≤U입니다. 두 최댓값은 실제 조각에서 얻으므로 경계의 등호도 포함해요. T가 일정하거나 w가 평평한 구간 안에 들어가면 U=V라 두 기준이 같아요. 나머지 경우에는 V>U이며 정확히 U<q≤V인 목표에서 A만 가능해요. a<H<m, w>p에서는 V−U=δ(w²−p²)/(4Lw)>0이고, H≥m에서는 V−U=δw/(4L)>0입니다.
T가 일정하면 모든 시작 위치가 최적이에요. T가 일정하지 않고 w≤p이면 조각 전체가 가운데 평평한 구간 안에 놓이는 시작 위치가 모두 최적이에요. 그 구간은 [(L−p)/2,(L+p)/2−w]입니다. w>p이면 가운데 시작 위치 s₀만 두 기준의 최댓값을 얻어요. 평평한 구간에 들어가는 경우를 빼면, 가운데에서 벗어날수록 낮은 쪽 끝은 엄격히 낮아지고 평균도 엄격히 줄어들어요.
자체 예로 a=2, b=10, H=12, L=20, w=10을 놓을게요. 모두 같은 길이 단위이며 실제 제품의 눈금이나 반죽 측정값이 아니에요. 가장 좋은 조각은 [5,15]이고, 양끝 높이는4, 가운데는6, 평균은5입니다. q=5에서는 평균 기준으로 합격하지만 모든 위치 기준으로는 어떤 시작 위치도 합격하지 못해요. 시작 위치를 잘못 골라 생긴 차이가 아니라, 두 기준의 최적값 자체가 달라요.
교사는 평균 높이5라는 답에 조각의 양끝 높이를 함께 적게 해요. “두 가이드를 뒤집었으니 평평해졌다”라는 설명에는 두 번째 작업이 높이를 다시 올릴 수 있는지 물어요. 가운데의 높은 점, 조각의 평균, 가장 얇은 끝을 서로 다른 답의 대상으로 남겨요. 삼각형 모양이나 최소함수 공식 자체가 새 발견인 것은 아니에요. 여기서는 초기 높이의 평평한 부분과 조각의 폭까지 함께 두어 두 합격 기준의 전체 경계를 구했어요.
착안 원문: Joseph Joseph, PrecisionPin™ Adjustable Blue Rolling Pin. 공식 상세 설명의 높이를 바꾸는 탈착 링이라는 사물 관점만 사용했어요. 서로 다른 두 가이드와 반전 작업의 규칙·조건·수치·판정은 자체 교육용 모형이며 제품 구조, 반죽 물성, 실제 두께나 작업 효과를 보고한 것이 아니에요.