두 장치의 벨트 길이를 평균 내면, 다시 바퀴에 맞을까?

두 바퀴를 감싼 벨트의 길이를 기록했다고 하자. 두 장치가 각각 정확히 맞는다면, 기록을 길이별로 평균 낸 값도 어떤 한 장치에 맞을까? 길이의 평균은 계산할 수 있지만, 그 평균이 다시 같은 종류의 사물로 만들어지는지는 다른 질문이다.

실제 구동 실험 대신 두 원판과 벨트 중심선의 기하 모형을 정한다. 두 원판의 중심 거리는 c>0으로 같다. 반지름 r₁≥r₂>0의 합은 c보다 작아서 원판이 겹치거나 닿지 않는다. 벨트의 두께·장력·늘어남·마찰은 제외한다.

같은 원판쌍에 대해 벨트 경로 두 가지를 각각 계산한다. 하나는 가운데에서 교차하지 않고 감는 경로, 다른 하나는 두 직선 부분이 가운데에서 교차하는 경로다. 두 경우의 길이를 A,B로 쓴다. 같은 고정 길이의 실물 벨트를 두 방식에 모두 끼울 수 있다는 뜻은 아니다. 교차 경로에서는 두께가 없는 중심선의 자기교차를 허용한다.

반지름의 합을 S, 차를 δ라 놓자. t=c sinθ를 만족하는 유일한 0≤θ<π/2인 각을 사용해 접선 길이와 호의 길이를 묶으면 다음과 같다. 각은 호도법의 라디안이다.

\begin{gathered} S=r_1+r_2,\quad\delta=r_1-r_2,\quad0\le\delta<S<c,\\ F(t)=2c(\cos\theta+\theta\sin\theta),\quad t=c\sin\theta,\\ A=\pi S+F(\delta),\qquad B=\pi S+F(S). \end{gathered}

교차하지 않는 경로의 두 직선 부분은 각각 √(c²−δ²)이고, 두 원에 닿는 호의 합은 πS+2δθ다. 교차 경로에서는 같은 자리에 반지름 차가 아니라 합 S가 들어간다. 알려진 벨트 기하식을 반지름과 각으로 다시 쓴 것이며, 이 길이 공식 자체를 새 발견으로 세지 않는다.

이제 서로 다른 크기의 두 장치를 생각하자. 각 장치 안에서는 두 원판의 반지름이 같다. 첫째의 합은 S₁, 둘째의 합은 S₂이고 0<S₁<S₂<c다. 중심 거리는 계속 같은 c다. 원판 둘이 각각 같은 크기라서 두 장치 모두 δ=0이다.

모형	교차하지 않은 길이	교차한 길이
첫째	2c+πS₁	C(S₁)
둘째	2c+πS₂	C(S₂)

여기서 C(S)=πS+F(S)다. 두 열의 길이를 각각 평균 낸다. M=(S₁+S₂)/2라 두면 평균 A는 2c+πM이다. 평균 B도 C(M)이면 반지름 합 M인 같은 크기 원판으로 만들 수 있겠지만, 두 값은 같지 않다.

왜 그런지 미분으로 확인하자. 삼각함수의 미분을 각도 θ에 적용하면 사인항과 코사인항의 일부가 지워진다.

\begin{gathered} \frac{d}{d\theta}F(c\sin\theta)=2c\theta\cos\theta,\\ C'(S)=\pi+2\theta,\qquad S=c\sin\theta. \end{gathered}

0≤θ<π/2에서 S는 θ와 함께 엄격히 증가한다. 따라서 C′(S)도 엄격히 증가한다. 길이가 같은 두 구간 [S₁,M], [M,S₂]에 평균값의 정리를 각각 적용하면, 뒤쪽의 평균 변화율이 앞쪽보다 크다. 그 결과는 다음 엄격 부등식이다.

\begin{gathered} C(M)<\overline B=\frac{C(S_1)+C(S_2)}2,\\ \overline A=2c+\pi M. \end{gathered}

합 M인 같은 크기 원판쌍만 실패한 것일까? 두 반지름이 서로 달라도 좋다고 허용해 보자. 평균 기록을 만드는 다른 원판쌍의 반지름 합을 S라고 한다. F는 엄격히 증가하고 F(0)=2c이므로, 그 교차하지 않는 길이는 언제나 πS+2c 이상이다. 평균 A와 같으려면 S≤M이어야 한다.

하지만 C도 엄격히 증가한다. S≤M이면 교차 길이는 C(S)≤C(M)이다. 위에서 평균 B가 C(M)보다 크다고 증명했으므로, 두 평균을 동시에 만드는 원판쌍은 없다. 다른 크기의 두 반지름을 자유롭게 고르는 방법도 이 모순을 해결하지 못한다. S₁=S₂이면 평균이 같은 기록이어서 이 불가능 결론의 전제에서 빠진다.

가능한 두 길이 기록의 범위도 정리할 수 있다. F(0)=2c이고 t가 c에 가까워질 때 F(t)는 πc에 가까워진다. C는 (0,c)에서 엄격히 증가해 (2c,2πc)를 모두 지난다. 따라서 B가 먼저 그 열린 범위 안에 있어야 한다. 그때 C(S)=B로 유일한 S를 찾고, 다음을 확인한다.

2c+\pi S\le A<B.

아래 경계는 같은 크기 원판쌍이라 포함한다. 위 경계 A=B는 포함하지 않는다. 위 등호에는 δ=S가 필요해 작은 반지름이 0이 되기 때문이다. 조건을 만족하면 F(δ)=A−πS의 유일한 δ를 찾고, 반지름을 (S+δ)/2와 (S−δ)/2로 되돌릴 수 있다. 두 길이만으로 큰 바퀴가 왼쪽인지 오른쪽인지는 구별하지 않는다.

자체 단위 c=1에서 S₁=1/4, S₂=3/4인 예를 보자. 평균 A는 2+π/2로 약 3.570796이고 평균 B는 약 3.899697이다. 반지름 합을 평균 1/2로 고른 장치의 교차 길이는 √3+2π/3으로 약 3.826446에 그친다. 소수 값이 달라 보인다는 관찰만으로 일반 불가능을 증명한 것은 아니다. 모든 서로 다른 S₁,S₂에서 적용한 엄격 부등식이 그 근거다.

교사는 평균의 각 성분이 타당한 수라는 사실과, 두 성분이 함께 하나의 모형을 만드는지를 다른 줄에 적게 한다. 여기서 평균은 실제 두 장치를 섞어 만든 물리적 합계도, 오차가 있는 여러 측정의 추정값도 아니다. 정확한 두 기하 기록의 산술평균이다. 벨트 길이의 근사식을 정확한 식 대신 넣으면 지금 경계 판정이 바뀔 수 있으므로, 직선과 호의 정확한 합으로 계산한다.

착안: Ahmed Kovacevic, City University London, Lecture 3: Belt and chain drives의 PDF 1·8·10쪽 텍스트와 8·10쪽 전체 이미지를 읽었다. 길이별 평균의 불가능과 모든 양수 반지름쌍의 범위는 자체 질문·증명으로 작성했다. 원문 도판·강의 문장 순서·장치 권장값은 옮기지 않았고, 회전 속도비나 실제 설치 성능을 검증한 자료도 아니다.