사진을 조금 기울이면 같은 액자 안에 더 크게 넣을 수 있을까? 실제 사진을 자르거나 작품을 손대는 작업 대신, 평면 직사각형을 넣는 자체 모형으로 확인하자.
액자의 안쪽 빈 공간은 가로 W, 세로 H이며 W≥H>0이다. 인화물의 기준변 길이는 ks, 다른 변은 s로 두고 k≥1, s>0이다. 두 길이는 같은 비율로 확대하며, 사진의 일부를 자르거나 접지 않는다. θ는 기준변과 액자 가로 방향 사이의 각으로 0≤θ≤π/2다. 두께는 무시하고 평행이동은 자유롭게 허용한다. 인화물 전체가 액자 안에 있어야 하며 경계에 닿아도 된다.
모든 k와 액자 비 R=W/H에서 가능한 최대 s와 그 값을 만드는 모든 θ를 구하라. 최대 크기에서 중심은 어디에 놓을 수 있는가? 가로 방향 θ=0보다 회전해서 더 크게 넣을 수 있는 조건도 찾아보자. 특히 k=3일 때 안쪽이 12×12인 액자와 15×13인 액자를 비교하라. 실제 액자 제품의 치수나 미술품 보존 절차를 판정하는 문제는 아니다.
먼저 한 각도에서 인화물의 가로 폭과 세로 폭을 구한다. 두 수직 변의 투영이 더해져 다음과 같다. 액자 중심을 원점으로 놓고 인화물 중심을 (u,v)라 하자.
중심만 안에 있다고 충분하지 않다. 네 꼭짓점까지 포함하려면 마지막 두 조건이 필요하다. 반대로 두 폭이 액자보다 크지 않으면 중심을 맞춰 실제로 넣을 수 있다. 식은 가능한 중심 전체도 준다.
k=1이면 w=h=cosθ+sinθ≥1이다. 등호는 0도와 90도에서만 성립하므로 최대 s는 H, 최적 기준변 각은 그 두 각이다. 이제 k>1을 보자. R>1이면 45도를 넘는 각은 반사한 90도−θ보다 불리하다. R=1에서는 두 각이 같은 값을 주므로 뒤 절반은 마지막에 대칭으로 되돌린다.
0≤θ≤π/4에서 h는 엄격히 증가한다. h′=kcosθ−sinθ>0이기 때문이다. 가로·세로 폭의 비 w/h는 k에서 1로 엄격히 줄며, 미분값은 (1−k²)/h²<0이다. R≥k이면 θ=0에서 s=H이고 다른 각은 더 작다.
1≤R<k에서는 두 폭이 동시에 액자 크기에 맞는 각 θₑ가 하나 있다. 그 각과 크기를 계산하면 다음과 같다.
θₑ보다 앞에서는 가로 폭이 크기를 제한하고, 뒤에서는 세로 폭이 제한한다. 뒤쪽의 1/h는 계속 작아진다. 앞쪽의 w는 w′=cosθ−ksinθ에 따라 한 번 커졌다가 작아지므로, R/w의 최대는 그 구간의 양 끝인 0과 θₑ 중 하나에서만 나온다. 두 후보를 찾은 뒤에야 어느 것이 큰지 비교한다.
양수인 λₑ와 λ₀를 제곱해 비교하자. 다음 인수분해로 전환 조건을 얻는다.
현재 R<k이므로 오른쪽 첫 번째 R−k는 음수다. 따라서 아래 표가 나온다. 표의 각도는 앞 절반에서의 결과이고, R=1이면 90도−θ도 함께 포함한다. 중간의 다른 각은 최적이 아니다.
| 조건: k>1, 1≤R<k | 최대 s/H | 최적 각도: 앞 절반 |
|---|---|---|
| R<q(k) | λₑ | θₑ만 |
| R=q(k) | λ₀=λₑ | 0과 θₑ |
| R>q(k) | λ₀ | 0만 |
R≥k에서는 최대 s/H=1이고 θ=0만 최적이다. 정사각형 인화물 k=1은 앞에서 따로 처리했으므로 분모 k²−1인 식에 넣지 않는다.
회전이 실제로 더 큰 인화를 허용하는 조건은 다음과 같다.
q(k)>1일 조건이 k>1+√2이기 때문이다. 이보다 덜 길쭉한 인화물은 이 모형에서 회전해도 최대 크기가 더 커지지 않는다. k=1+√2, R=1에서는 0·45·90도의 세 각이 동률이다. 그 사이의 모든 각이 같은 것은 아니다. R=q(k)>1에서는 0과 θₑ 두 각만 동률이며, 이 균형각은 45도보다 작다.
k=3, W=H=12이면 최적 각은 45도다. s=3√2로, 나란히 넣을 때의 s=4보다 크다. 인화물의 긴 변 9√2는 액자 한 변 12보다 길지만 가로·세로 투영은 둘 다 12여서 전체가 들어간다.
같은 k=3에서 W=15,H=13이면 R=q(3)=15/13이다. 나란한 각과 tanθₑ=3/4인 각에서 s=5로 같다. 후자의 cosθₑ=4/5,sinθₑ=3/5를 넣으면 가로 폭 15, 세로 폭 13이 된다. 기울였다고 크기까지 더 커진 것은 아니다. 균형각에서는 중심을 액자 중심에 맞춰야 한다. 나란히 넣은 최대 인화는 세로 여유가 있어 u=0, |v|≤4인 모든 중심이 가능하다.
교사는 인화물의 긴 변, 가로 투영 폭, 액자의 가로 길이를 각각 다른 값으로 적게 한다. 대각선이 길다는 설명만으로 크기를 정하지 않고 두 방향의 제한을 함께 사용하게 한다. 이어 가장 큰 크기 하나와 그 크기를 만드는 모든 각·중심을 구별한다.
V&A의 액자 컬렉션 소개는 액자가 다양한 형태·크기의 그림과 사물을 담는다고 설명하며, 빈 액자도 별도 사물로 수집한다고 소개한다. 그 사물 관점에서 자체 질문을 만들었다. 원문은 사진을 기울여 보관하라고 권하거나 위 최적화 정리를 제공한 것이 아니다. 액자 두께, 받침, 유리, 인쇄 재료의 변형, 작품 보존과 실제 조립은 이 평면 모형에 넣지 않았다.
착안: Victoria and Albert Museum, Frames. 액자와 담기는 사물의 관점만 사용했다. 본문의 모든 치수·비율·배치 조건·문항과 전범위 증명은 자체 작성했으며, 원전의 미술품 사진·활동·문장을 옮기지 않았다.