녹음 구간의 값을 키우면 선택 후 평균도 커질까? 실제 녹음 파일 대신 양의 요약값을 사용한 자체 모형이다. 정수 n≥1, R>1을 고정하고, 값 1을 가진 구간 n개와 값 R인 구간 1개, 값 x인 구간 1개를 둔다. 0<x≤R이며 모든 구간의 비중은 같다.
전체 값으로 T를 한 번 계산한 뒤, 값이 T보다 엄격히 큰 구간만 남긴다. 기준과 같은 값은 제외한다. 남은 값들의 산술평균을 G(x)라 한다. x를 바꿀 때에는 전체 값에서 기준을 다시 계산한다. 남은 평균으로 기준을 반복 갱신하지 않는다.
모든 n,R에서 어떤 구간이 남는지와 G의 전체 조각을 구하라. 두 선택 경계의 순서가 바뀌는 R도 찾고, G가 x에 따라 감소하지 않는 함수인지 판정하라. n=1,R=28에서 x가 9/10,1,11/10일 때의 값도 비교하라. 이는 실제 방송 장비의 측정이나 EBU 적합성 판정이 아니다.
모든 입력값이 R 이하이므로 μ≤R, T≤R/10<R다. 따라서 R 구간은 항상 남고 G가 정의되지 않는 경우는 없다. 값 1의 유지 조건은 1>(n+R+x)/{10(n+2)}, 즉 x<α다. x 구간의 유지 조건은 x>(n+R+x)/{10(n+2)}, 즉 x>β다.
| 입력 조건 | 남는 구간 | G(x) |
|---|---|---|
| x<α, x≤β | 값 1의 n개와 R | (n+R)/(n+1) |
| x<α, x>β | 전체 n+2개 | (n+R+x)/(n+2) |
| x≥α, x≤β | R만 | R |
| x≥α, x>β | R과 x | (R+x)/2 |
표는 0<x≤R 안에서만 사용한다. 조건이 비어 있는 행은 없앤다. α가 0 이하이거나 R보다 클 수도 있지만, β는 항상 0과 R 사이에 있다. β<R은 n+R<R(10n+19)에서 나오며, R>1이면 오른쪽에서 왼쪽을 뺀 (10n+18)R−n이 양수다.
R₀=9n+19라 놓으면 다음과 같다.
R<R₀이면 β<1<α다. x를 키우면 x 구간이 먼저 들어오고, α가 정의역에 있으면 값 1의 구간들이 그 뒤 빠진다. α≤R일 조건은 R≥(9n+20)/2다. R>R₀이면 α<1<β다. α가 양수이면 값 1의 구간들이 먼저 빠진 뒤 x 구간이 들어온다. R≥R₀+1이면 α≤0이어서 값 1은 모든 양수 x에서 처음부터 제외된다.
R=R₀에서는 α=β=1이다. x<1의 G는 (n+R₀)/(n+1)이고, x=1에서는 모든 값 1이 기준과 같아서 제외되어 G=R₀다. x>1의 G는 (R₀+x)/2다. 경계에서만 높은 값이 생기지만 그 값이 유일한 전체 최댓값인 것은 아니다. x=R₀에서도 G=R₀다.
어느 R에서도 G는 감소하지 않는 함수가 아니다. R<R₀에서 x=β의 값은 C=(n+R)/(n+1)이고, 오른쪽 극한은 (n+R+β)/(n+2)다. 둘의 차는 (C−β)/(n+2)>0이다. R>R₀에서는 x=β의 값이 R, 오른쪽 극한이 (R+β)/2<R다. R=R₀에서도 x=1의 R₀보다 오른쪽 극한 (R₀+1)/2가 작다. β<R이므로 각 경우에 실제로 더 큰 허용 x를 충분히 가깝게 골라 감소를 만든다. 각 열린 조각의 기울기는 0,1/(n+2),1/2로 음수가 아니어도 선택이 바뀌는 곳에서는 내려갈 수 있다. 자체 예 n=1, R=28에서는 차례로 29/2,28,291/20을 얻는다.
두 번째 값과 세 번째 값을 직접 비교하자. x는 1에서 11/10으로 커졌지만, 결과는 28에서 14.55로 줄었다. 새로 들어온 값 11/10이 R=28보다 작기 때문이다. x를 키우는 일과, 평균에 포함되는 목록을 고정하는 일은 같은 조건이 아니다. x=1에서는 기준 T도 1이라 값 1의 구간들이 한꺼번에 제외된다. 등호를 포함하는 다른 규칙으로 바꾸면 이 한 점의 결과부터 달라진다.
EBU의 2023년 Tech 3341은 통합된 소리 크기를 계산할 때 절대 기준을 거친 평균보다 10 LU 낮은 상대 기준을 사용한다고 설명한다. Tech 3343의 처리도에는 제곱평균 값을 모으고 10log₁₀ 변환하는 단계가 있다. 양의 에너지 척도에서 10log₁₀(e)와 10log₁₀(μ)의 차가 −10이면 e=μ/10이다. 이 관계에서 기준의 비율만 착안했다. 실제 절대 기준, 채널 가중, 400 ms 겹친 구간, 계측 정확도와 표준의 등호 처리를 본문 모형이 구현한다는 뜻은 아니다.
교사는 두 선택 조건을 각각 풀게 한 뒤 경계의 순서를 비교하게 한다. R 하나를 대입한 반례로 끝내지 않고, 경계가 바뀌는 R₀와 두 경계가 겹친 입력의 값을 확인한다. 남는 구간 수가 바뀌어도 G는 각 x에 한 값만 정해지는 함수다. 함수라는 조건과 연속이라는 조건을 혼동하지 않는다.
착안: EBU Tech 3341, 2023년판, §2.3과 EBU Tech 3343, 2023년판, 부록 11.1.1. 본문의 n,R,x, 엄격 선택 규칙과 전체 경계 분류는 자체 교육용 문제다. 원문 도표나 실제 음향 자료를 옮기지 않았으며, 녹음 장비의 성능이나 청감 결과를 검증한 것이 아니다.