계산표를 믿기 전에 표 안의 수끼리 검산하면 어떨까요? 곱셈을 로그의 덧셈으로 바꾸는 관계가 모두 맞고, 수가 커질수록 표의 값도 커진다면 틀린 항목은 없다고 말할 수 있을까요?
National Museums Scotland는 로그 표를 비롯한 계산표를 만들고 확인하는 데 긴 시간이 들었으며, 인쇄된 표의 오류가 계산 오류로 이어지기도 했다고 설명해요. 여기서는 그 역사적 문제에서 출발하되, 특정 옛 표를 판정하지 않아요. 반올림이 전혀 없는 정확한 실수를 적었다고 가정한 자체 표로 검산의 보장 범위를 따져 볼까요?
표에는 1부터 정수 N까지의 상용로그를 적으려 했어요. 실제 적힌 값을 q(n)이라 해 볼까요? q(1)=0은 따로 확인했고, N≥2이면 q(2)=log₁₀2도 신뢰할 수 있는 정확 자료와 비교했어요. 표 안에 곱이 들어오는 모든 정수 a,b≥2를 확인해요.
예를 들어 12까지의 표라면 2와 6, 3과 4로 12를 만드는 두 계산도 모두 검사해요. 그러나 검산끼리 서로 맞는다는 사실과 진짜 로그값과 맞는다는 사실은 구별해야 해요.
먼저 한 칸만 틀렸다고 가정할게요. 합성수의 항목은 그보다 작은 두 인수의 값으로 검사할 수 있어요. 홀수 소수 p도 2p가 표에 있으면 두 항목을 비교하여 오류를 잡아요. 반면 p>N/2인 홀수 소수는 표 안에서 다른 2 이상 정수와 곱해 볼 수 없어요. 그 칸을 임의로 바꾸어도 내부 곱 검산은 지나가요. 12까지의 표에서는 7과 11이 바로 그런 칸이에요. 1과 2의 오류는 별도의 정확 확인에서 이미 걸려요.
여러 칸이 함께 틀리면 사각지대는 더 넓어요. v_p(n)을 n의 소인수분해에서 소수 p의 지수라고 쓸게요. 12까지의 표에서 진짜 값에 v₃(n)/100을 더해요. 다음 네 칸만 바뀌어요.
| 항목 n | 3 | 6 | 9 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| 더한 오차 | 1/100 | 1/100 | 2/100 | 1/100 |
3의 오류를 6과 9의 오류가 함께 따라가요. 곱을 만들면 소인수의 지수가 더해지므로 모든 곱 검사는 여전히 맞아요. 따라서 ‘어느 한 칸의 오류든 잡는다’는 보장도 여러 오류를 동시에 잡는 보장과 같지 않아요. 현재 표에서는 큰 소수의 한 칸 오류조차 잡히지 않는다는 제한도 남아요.
이것이 가능한 오차의 일부에 불과할까요? 아니에요. e(n)=q(n)−log₁₀n이라 하면 모든 통과 표의 오차를 다음 식으로 전부 적을 수 있어요.
합성수는 작은 인수의 곱이므로 그 오류도 작은 항목들의 오류 합으로 강제돼요. 소인수분해를 끝까지 하면 소수 항목의 오류만 남아요. 2의 값은 이미 확인했으므로 2에 따른 오류는 0입니다. 역으로 어떤 실수 α_p를 골라도 소인수의 지수가 더해지는 성질 때문에 모든 검산을 통과해요. 알려진 로그의 성질과 소인수분해를 도구로 사용한 분류예요.
잘못된 표는 값의 순서가 뒤집혀 쉽게 보일 것이라는 예상도 틀릴 수 있어요. 유한한 진짜 로그 표의 인접 간격에는 양수인 최솟값이 있어요. 통과하는 오류를 그 간격보다 충분히 작게 줄이면 값은 여전히 엄격히 증가해요. 앞의 12칸 예에서도 v₃의 인접 변화는 절댓값이 최대 2입니다. 가장 작은 진짜 간격 log₁₀(12/11)은 1/50보다 크므로 오차 1/100을 쓴 표는 엄격히 증가해요. 이 간격 부등식은 (12/11)⁵⁰>1+50/11+1225/121>10으로 직접 확인해요. 순서 검사까지 통과해도 정확한 표라는 결론은 나오지 않아요.
이제 일부 항목을 다른 정확 자료와 직접 비교할 수 있다고 해 볼까요? N 이하 홀수 소수의 개수를 d_N이라 쓰면, 표 전체를 보증하는 최소 추가 확인 수는 d_N입니다. 다만 아무 항목 d_N개를 확인하면 된다는 뜻은 아니에요.
확인할 항목 집합 C가 주는 이 식들의 해가 모든 α_p=0 하나뿐이어야 해요. 식이 d_N개보다 적으면 적어도 하나의 자유가 남아요. 반대로 홀수 소수의 항목을 직접 확인하면 그 자유를 하나씩 없애 d_N개로 충분해요. 정확히 d_N개를 쓰는 모든 최소 집합은 소수 지수들이 서로 독립인 조건을 주는 집합이에요. 여기서 ‘독립’은 확률의 독립이 아니라, 한 확인식이 다른 확인식의 실수배 합으로 반복되지 않는다는 뜻이에요.
12까지의 표에는 홀수 소수 3, 5, 7, 11이 있으므로 최소 4개를 더 확인해요. 소수 칸만 고를 필요는 없어요. 9, 10, 7, 11을 확인하면 아래 네 오류가 0이어야 해요.
이 조건은 네 자유를 모두 없애요. 반면 3, 6, 9는 모두 α₃에 관한 반복 확인이라 5, 7, 11의 오류를 막지 못해요. 2의 거듭제곱 항목도 이미 맞는 2에서 따라오므로 새로운 확인 조건을 주지 않아요. N=1,2에서는 이미 확인한 칸뿐이므로 추가 확인이 필요 없다는 작은 경계도 포함해요.
교사는 먼저 ‘한 칸만 틀림’과 ‘여러 칸이 함께 틀림’의 가정을 나누어 적게 해요. 이어 확인 항목의 개수와 서로 다른 오류를 없애는 조건 수가 왜 다른지 9와 3의 관계로 설명하게 해요. 실제 인쇄 표를 검사하려면 표시 자릿수와 반올림·버림 규칙을 따로 정해야 해요. 이 글의 반올림 없는 등식 모형을 그 확인 없이 적용하지 않아요.
착안: National Museums Scotland, Napier’s bones의 인쇄 계산표 오류 설명과 MathWorld, Fundamental Theorem of Arithmetic를 읽었어요. 유한한 정확 실수 표의 검사 규칙·오류 가족·직접 확인 조건과 증명은 자체 교육 모형으로 작성했어요.