신발끈의 양 끝을 맨 위 구멍에서 꺼내는 대신, 가운데 구멍에서 꺼내면 길이가 얼마나 달라질까요? 왼쪽과 오른쪽을 번갈아 지나며 모든 구멍을 한 번씩 쓴다는 규칙을 정하면, 출구를 바꾸는 일은 단순히 마지막 조각만 바꾸는 일이 아니에요. 아래쪽과 위쪽을 이어야 하는 방법도 달라져요.
Ian Fieggen의 공식 신발끈 사이트는 구멍 사이에 들어간 길이와 매듭·양 끝에 남기는 길이를 나누어 비교해요. 필요한 전체 길이에는 구멍 수, 가로·세로 간격, 엮는 방법과 남길 끝 길이가 함께 작용해요. 실제 신발의 세부 모양은 계산식에 모두 담기지 않으므로 직접 길이를 재는 방법도 설명해요.
여기서는 신발 위의 입체 경로 대신 두 줄의 점으로 만든 자체 모형을 써요. 같은 높이의 왼쪽·오른쪽 구멍을 한 쌍으로 정하고, 모든 구멍 중심을 정확히 한 번씩 지나요. 매번 반대쪽 줄로 건너가며 직선 조각의 길이를 더해요. 끈끼리 교차해도 좋아요. 매듭, 양 끝 여유, 구멍의 두께와 신발 곡면, 장력은 넣지 않아요. 이 제한 안의 최단 경로가 실제 모든 엮기 방법이나 신발끈 권장 길이를 뜻하지는 않아요.
먼저 가로 간격 3, 세로 간격 4인 구멍 세 쌍을 볼까요? 실제 제품의 눈금이 아니라 자체 길이 단위예요. 아래에서 위로 1·2·3 행이라 이름 붙이고, 왼쪽은 L, 오른쪽은 R로 써요. 옆으로만 건너는 조각은 3, 바로 다음 행으로 비스듬히 건너는 조각은 5입니다.
| 끈의 양 끝 | 가장 짧은 구멍 사이 길이 | 방향 있는 최단 경로 수 |
|---|---|---|
| 왼쪽 맨 아래 → 오른쪽 맨 위 | 19 | 1 |
| 왼쪽 맨 위 → 오른쪽 맨 위 | 23 | 1 |
| 왼쪽 가운데 → 오른쪽 가운데 | 16+√73, 약 24.544 | 2 |
맨 아래에서 맨 위로 끝내면 L₁→R₁→L₂→R₂→L₃→R₃가 짧아요. 같은 맨 위 행에서 시작하고 끝내면 L₃→R₂→L₁→R₁→L₂→R₃처럼 아래쪽까지 갔다가 돌아와요.
그런데 같은 가운데 행을 양 끝으로 쓰면 그 행의 두 구멍은 이미 시작과 끝이에요. 남은 구멍들끼리 이어지는 경로는 가운데 구멍을 중간에 다시 쓰지 못해요. 아래쪽에서 위쪽으로 한 행을 건너뛰는 연결이 반드시 필요해요. 이것이 23보다 길어지는 이유예요.
이 차이가 구멍 세 쌍일 때만 생길까요? 모든 구멍 수와 서로 다른 세로 간격에서도 답을 구할 수 있어요. n 은 양의 정수이고, 같은 행의 가로 간격 w 는 양수예요. 높이 yᵢ 는 엄격히 증가하며 인접한 세로 간격 hᵢ 는 모두 양수예요.
왼쪽 a 행 Lₐ 에서 출발해 오른쪽 b 행 Rᵦ 에서 끝내자. 같은 점이라도 한 번 더 지나면 현재 규칙을 어겨요. 경로는 시작부터 끝까지 적은 구멍 이름의 목록으로 구별해요. 거꾸로 적은 목록은 같은 출발·끝 조건의 또 다른 경로가 아니에요.
높이 차가 t 인 조각의 길이를 f(t), 옆으로만 건너는 길이보다 더 필요한 양을 g(t)라고 쓸게요. 제공 교재의 두 점 사이의 거리로 이 길이를 계산해요.
어떤 세로 틈이 양 끝 행 사이에 있으면 경로가 그 틈을 적어도 한 번 건너야 해요. 그 밖의 틈은 내려갔다가 돌아오거나 올라갔다가 돌아와야 해서 적어도 두 번이에요. 경로가 틈의 한쪽과 다른 쪽을 오갈 때마다 소속이 바뀐다는, 알려진 경로의 홀짝 성질이에요.
각 틈을 이 최소 횟수만큼 건너고 행을 건너뛰지 않는다고 계산한 길이를 Q 라고 해 볼까요? 합 기호의 범위가 비어 있으면 그 합은 0입니다.
양 끝이 다른 행이면 이 계산을 실제로 만들 수 있어요. 낮은 끝 행에서 맨 아래까지 왕복하고, 두 끝 행 사이에서는 위로 한 번씩 진행하고, 높은 끝 행에서 맨 위까지 왕복하면 돼요. 각 왕복은 한쪽 점으로 갔다가 같은 행의 다른 점들을 써서 돌아와요. 내부 점의 연결 두 개와 끝점의 연결 한 개가 나머지 조각을 강제하므로 최단 경로는 하나예요.
양 끝이 같은 맨 아래 행이면 맨 위에서 옆으로 한 번 돌아 아래로 내려온다. 같은 맨 위 행이면 맨 아래에서 돌아 올라온다. 이때도 Q를 얻고 최단 경로는 하나예요. 구멍이 한 쌍뿐이면 길이 w 인 한 조각으로 끝나요.
같은 가운데 행은 달라요. 아래·위 구멍들이 모두 남아 있는데 가운데 두 구멍은 경로의 양 끝이라 중간 연결에 쓸 수 없어요. 아래와 위를 직접 잇는 조각이 필요해요. 가장 짧게 건너뛰어도 a−1 행과 a+1 행을 잇게 돼요.
이 조각은 두 틈을 따로 건널 때보다 추가 길이를 내요. 양수 u,v에 대해 g(u+v)>g(u)+g(v)가 성립하기 때문이에요. 이는 거리 함수의 엄격한 볼록성에서 얻는 알려진 도구예요. 모든 더 먼 건너뛰기는 추가량을 키우므로, 가장 가까운 연결의 추가량 Δₐ 가 정확한 최소예요.
이 최소를 얻는 방법은 두 가지예요. 왼쪽 출발점에서 먼저 아래쪽을 돌고 위쪽으로 잇거나, 먼저 위쪽을 돌고 아래쪽으로 이어요. 아래쪽·위쪽 왕복은 각각 강제되므로 다른 최단 순서는 없어요.
| 양 끝 행의 관계 | 최소 길이 | 방향 있는 최단 경로 수 |
|---|---|---|
| a≠b | Q(a,b) | 1 |
| a=b=1 또는 n | Q(a,a) | 1 |
| 1<a=b<n | Q(a,a)+Δₐ | 2 |
처음의 세 쌍 예에서는 가운데 건너뛰는 조각의 길이가 √73입니다. 추가량은 다음과 같아요.
두 경로는 L₂→R₁→L₁→R₃→L₃→R₂와 L₂→R₃→L₃→R₁→L₁→R₂입니다. 같은 길이를 갖지만 서로 다른 구멍 순서예요.
양 끝을 어디서 꺼낼지도 자유롭게 고르면 어떨까요? 모든 세로 틈을 한 번만 건너는 경우가 가장 짧아요. n 이 2 이상이면 양 끝의 행이 맨 아래·맨 위여야 해요. 시작을 왼쪽으로 정했을 때 두 행 배치마다 경로가 하나예요. 길이는 다음과 같아요.
양 끝을 같은 줄에 놓는 경우는 왜 표에 없을까요? 구멍 2n 개를 번갈아 지나는 직선 조각은 2n−1 개로 홀수예요. 그래서 왼쪽에서 시작했다면 오른쪽에서 끝나야 해요. 같은 열의 양 끝은 길이를 최소화하기 전에 현재 규칙에서 불가능으로 분리해요.
교사는 ‘최단 길이’ 옆에 실제 구멍 순서를 적게 해요. 길이의 하한을 계산한 것과 그 하한을 만들 수 있는 것은 다른 단계예요. 구멍 수나 세로 간격을 바꾸는 수치 예가 아니라, 모든 양수 간격에서 가운데 출구가 강제하는 추가 조각과 모든 최단 배치를 질문했어요. 피타고라스, 경로의 홀짝 성질이나 일반 신발끈 최적화 자체를 새 발견으로 소개하는 글은 아니에요. 제공 교재는 거리 계산을 뒷받침하며 전체 경로 분류는 자체 증명이에요.
착안: Ian Fieggen, Comparative Shoelace Lengths와 Accurate Shoelace Lengths의 전체 의미 본문을 읽었어요. 두 페이지 모두 2026년 8월 13일 수정 표기가 있어요. 구멍 사이 길이와 매듭·끝 여유를 구별하는 관점만 사용하고, 원문 엮는 지침·비교 숫자·표·사진·계산 프로그램은 옮기지 않았어요. 실제 신발의 편안함이나 더 짧은 끈의 적합성을 측정한 자료가 아니에요.