큰 봉지가 더 쌌는데, 필요한 수량이 늘면 다시 비싸질까요?

큰 포장이 단위값도 더 싸고, 필요한 수량 3에서도 더 쌌어요. 그렇다면 수량 4에서도 계속 더 쌀까요? 2개짜리 한 봉지가 10, 3개짜리 한 봉지가 14인 자체 예를 볼까요? 같은 물건이고 가격은 이 글의 비교 단위예요.

한 번 살 때 한 종류의 봉지만 써요. 봉지를 나누어 살 수 없으며, 필요한 수량 이상이 되도록 최소 개수만 산다. 남은 물건을 다음 구매에 보태거나 돈으로 돌려받지는 않아요. 각 수량은 새로 시작하는 별도 구매다. 실제 제품 가격이나 소비 습관을 측정한 표가 아니에요.

작은 봉지는 개당 5, 큰 봉지는 개당 14/3입니다. 큰 봉지의 단위값이 더 낮지만, 완봉지로 낸 총액은 다음처럼 움직여요.

큰 봉지의 단위값 우세는 포장 수가 늘 때의 총액 점프를 없애지 않아요. 수량 4에서는 큰 봉지를 한 개 더 사지만 작은 봉지는 그대로 두 개예요. 처음 이긴 수량과 그 뒤로 항상 이기는 수량은 달라요. 마지막으로 더 비싼 수량과 마지막 동률 수량도 다를 수 있어요.

일반적으로 작은 봉지 하나에 든 물건 수와 가격을 a,c, 큰 봉지 하나에 든 물건 수와 가격을 b,d라 해 볼까요? a<b는 양의 정수이고 c,d는 양수예요. 큰 봉지의 단위값이 엄격히 낮다고 가정해요. 필요한 수량 x는 양의 정수예요.

천장 기호는 그 수 이상인 가장 작은 정수예요. 이번 질문은 두 종류를 섞는 최적 구매가 아니에요. 정해진 두 규칙의 총액을 모든 수량에서 비교해요.

큰 봉지를 n개 사는 수량은 (n−1)b+1부터 nb까지예요. 이 안에서는 큰 총액이 dn으로 일정해요. 작은 봉지가 몇 개 필요한지만 바뀌어요. 큰 봉지가 더 싸지 않은 수량과, 엄격히 더 비싼 수량은 각각 다음 정수 구간이에요.

아래 끝이 위 끝보다 크면 그 구간에는 수량이 없어요. 바닥 기호는 그 수 이하인 가장 큰 정수예요. 단위값 할인 조건 때문에 위 끝은 nb보다 작아요. 동률은 rn이 정수일 때만 가능하며, 작은 봉지를 rn개 사는 구간과 큰 봉지를 n개 사는 구간의 교집합이에요. 가격비 r이 무리수이면 동률은 없어요.

큰 봉지 개수 n을 끝없이 검사해야 할까요? 두 포장 크기의 최대공약수를 g, a/g와 b/g를 각각 A와 D라 쓸게요. n−1을 A로 나눈 몫과 나머지를 q,j라 놓아요. 나머지는 0부터 A−1까지뿐이에요.

이 큰 봉지 구간의 첫 수량에서 작은 봉지는 qD+⌊jD/A⌋+1개가 필요해요. 따라서 큰 봉지가 더 싸지 않은 구간이 남아 있을 조건은 qδ≤Rⱼ, 엄격히 더 비싼 구간이 남을 조건은 qδ<Rⱼ입니다. 같은 나머지 안에서는 q가 커질수록 두 조건이 결국 끝나요. 다만 서로 다른 나머지의 구간이 끼어들어 전체 수량에서는 재역전이 생겨요.

Rⱼ<0이면 그 나머지에는 비우세 구간이 하나도 없어요. Rⱼ≥0일 때 마지막 몫 Qⱼ와 그 구간의 마지막 수량 Mⱼ는 다음과 같아요.

후보가 없으면 M=0으로 정해요. 모든 정수 x>M에서 큰 봉지가 엄격히 더 싸고, M>0이면 M 자체에서는 더 싸지 않아요. 따라서 M+1이 그 뒤의 모든 수량에서 계속 더 싸지는 정확한 시작점이에요. A가지 나머지의 마지막 구간을 모두 확인했으므로 몇 번의 성공만 보고 추측한 결론이 아니에요.

엄격히 더 비싼 마지막도 같은 방식으로 구해요. Rⱼ>0인 나머지만 남기고, 마지막 몫을 Pⱼ=⌈Rⱼ/δ⌉−1로 바꿔요. 그 구간의 마지막 손해 수량은 a(⌈r(APⱼ+j+1)⌉−1)입니다. 이 값들의 최대를 L이라 하고 후보가 없으면 L=0입니다. 등호를 허용하는 M과 허용하지 않는 L을 같은 반올림으로 계산하면 마지막 동률을 놓칠 수 있어요.

첫 예에서는 A=2,D=3,δ=1/5입니다. 두 나머지만 계산하면 돼요.

큰 봉지가 더 비싼 수량 전체는 1~2, 4, 7~8, 10, 16, 22입니다. 동률 전체는 13~14와 28입니다. 그래서 수량 23부터 다시 비싸지는 일은 없지만, 28에서는 아직 같을 수 있어요. 29부터는 언제나 엄격히 더 싸다.

큰 봉지의 봉지 가격까지 작은 봉지보다 낮은 r<1이면 처음부터 엄격히 더 싸다. r=1이면 엄격한 손해는 없지만 동률은 남을 수 있어 M 계산이 여전히 필요해요. 작은 봉지가 하나짜리이거나 b가 a의 배수여도 같은 식을 써요. 반대로 단위값이 같은 r=b/a는 이번 할인 조건 밖이에요. 두 포장 수량의 공배수에서는 언제나 총액이 같아, 그 뒤 모두 엄격히 더 싸지는 시작점을 만들 수 없어요.

교사는 먼저 수량 3에서의 성공 뒤에 수량 4를 제시하게 해요. 이어 ‘마지막으로 더 비싼 수량’과 ‘그 뒤 항상 더 싼 시작점’을 다른 질문으로 적게 해요. 단위값, 봉지 가격, 필요한 총액이 어느 식에 들어가는지도 확인해요. 제공 교재의 부등식과 함수는 비교와 수량 대응의 기초예요. 천장·바닥·나머지별 마지막 구간은 여기서 정의하고 증명한 확장이에요. 실제 학습효과를 측정한 결과는 아니에요.

착안: ACCC, Unit pricing. 표준 단위당 가격으로 같은 종류의 물건을 비교한다는 배경을 참고했어요. 원문의 제품 사진·가격 예시·영상·법령 안내를 옮기지 않았어요. 두 완포장 규칙·수량·가격·남은 물건 처리와 모든 역전·동률 조건은 자체 교육용으로 작성했어요.