같은 수인데, 주판에 모인 알은 왜 다를까요?

십의 자리에 알 하나를 모아 10을 만들었어요. 그런데 일의 자리에 5를 뜻하는 알 두 개를 모아도 10 입니다. 같은 수인데 주판의 모습이 달라요. 어느 모습이 맞는지보다 먼저, 우리가 무엇을 ‘한 가지 표현’으로 세는지 정해야 해요.

Museums Victoria가 소장한 시드니 루이 궁의 주판은 약 1900년대 중국 물건으로 기록되어 있어요. 공식 설명에는 나무 세로줄 15개마다 위쪽 알 2개와 아래쪽 알 5개가 있다고 나와요. 호주로 이주한 소장자의 생활 물품이라는 맥락도 함께 남아 있어요. 여기서는 그 알의 구성을 착안점으로 삼아요. 유물 사진이나 실제 사용 장면을 복제하지 않아요.

이 글에서는 따로 규칙을 정해요. 가로대에 붙은 위쪽 알은 같은 줄의 아래쪽 알 5개와 같은 값이에요. 아래쪽 알 하나를 1로 세고, 오른쪽 줄부터 자리의 값을 열 배씩 늘려요. 같은 그룹에서는 가로대부터 빈틈없이 붙여요. 알에 번호를 붙이거나 떨어진 알 사이의 간격을 세지 않아요. 따라서 한 줄의 상태는 붙인 위쪽·아래쪽 알의 개수만으로 정해져요.

세로줄 두 개에서 10을 만들 수 있는 모습은 세 가지예요.

십의 자리	일의 자리	붙은 알의 합
아래쪽 알 1개	없음	1
없음	위쪽 알 2개	2
없음	위쪽 알 1개와 아래쪽 알 5개	6

일의 자리에서 10을 만드는 두 방식도 구별해야 해요. 위쪽 알 두 개와, 위쪽 알 하나에 아래쪽 알 다섯 개를 더한 모습은 값이 같지만 서로 다른 배치예요. 여기에 ‘붙은 알이 가장 적은 것’을 고르라는 조건을 붙이면 표의 첫 모습만 남아요.

60 도 흥미롭다. 평소처럼 십의 자리에 위쪽 알 하나와 아래쪽 알 하나를 붙이면 알 2개예요. 십의 자리를 5로 두고 일의 자리를 10으로 두어도 값은 60 입니다. 이때 각각의 5와 10을 두 방식으로 만들 수 있어요. 따라서 전체 배치는 1+2×2=5 가지예요. 십진수의 각 자리에서 따로 보이는 선택지만 곱하면 이 네 가지를 놓쳐요.

나타낼 수	전체 배치 수	가장 적게 붙이는 알	최소 배치 수
0	1	0	1
5	2	1	1
10	3	1	1
60	5	2	1
66	1	4	1

표는 두 줄로 0부터 99까지 나타내는 모형의 예예요. ‘전체 배치가 하나다’와 ‘알을 가장 적게 쓴 배치가 하나다’는 서로 다른 질문임이 드러나요. 모든 수에서 이 차이가 유지되는지 볼까요?

오른쪽 줄을 0번으로 세고, i 번 줄에 붙인 위쪽 알을 aᵢ 개, 아래쪽 알을 bᵢ 개라 해 볼까요? 값 V 와 붙은 알의 합 B 는 다음과 같아요. 모든 수 N 은 0≤N<10ⁿ 의 정수이고 줄의 수 n 은 고정해요.

\begin{gathered} 0\le a_i\le2,\quad0\le b_i\le5,\quad a_i,b_i\in\mathbb Z,\\ V=\sum_{i=0}^{n-1}(5a_i+b_i)10^i,\\ B=\sum_{i=0}^{n-1}(a_i+b_i). \end{gathered}

한 줄에서 만든 자리값은 0부터 15까지예요. 자리값 5는 ‘위 1개’와 ‘아래 5개’로, 자리값 10 은 ‘위 2개’와 ‘위 1개·아래 5개’로 만들 수 있어요. 나머지 자리값은 한 가지예요. 특히 자리값 15 는 위 2개·아래 5개로만 만들어 알 7개가 필요해요. 위쪽에 알 3개를 놓는 선택은 허용되지 않아요.

N 의 보통 십진 숫자를 dᵢ 라 해 볼까요? 서로 다른 배치를 빠짐없이 다루려면 아래 자리에서 위 자리로 넘어간 10을 함께 기록해야 해요. cᵢ 는 바로 아래 자리들에서 i 번 자리로 넘어온 양이에요. c₀ 는 0 이고 맨 왼쪽 밖으로 값을 버리지 않으므로 cₙ 도 0입니다. 가능한 모든 배치는 다음 조건과 정확히 대응해요.

\begin{gathered} N=\sum_{i=0}^{n-1}d_i10^i,\qquad0\le d_i\le9,\\ c_0=c_n=0,\qquad c_i\in\{0,1\},\\ v_i=d_i+10c_{i+1}-c_i,\qquad0\le v_i\le15. \end{gathered}

왜 넘어온 양이 0 또는 1 뿐일까요? 임의 배치의 아래 i 개 줄이 만든 값에서 보통 십진 숫자들의 값을 뺀 뒤, 10ⁱ 로 나누어 cᵢ 를 정의해요. 전체 값이 N 과 같으므로 이 수는 정수예요. 그보다 위의 자리들이 만드는 차이는 모두 10ⁱ 의 배수이기 때문이에요.

아래 줄마다 자리값은 최대 15이고, 보통 숫자는 최대 9입니다. 등비합으로 범위를 좁히면 다음과 같아요. 이 열린 범위에 든 정수는 0 과 1 뿐이에요. 연속한 두 c 의 정의를 빼면 앞의 자리값 식이 나오고, 역으로 그 식을 모두 더하면 넘어온 값이 상쇄되어 정확히 N 이 돼요. 따라서 이 방법은 가능한 배치를 놓치거나 중복해서 세지 않아요.

\begin{gathered} c_i=\frac{\sum_{j=0}^{i-1}(v_j-d_j)10^j}{10^i},\\ -1<c_i<\frac53\quad(i\ge1). \end{gathered}

이제 배치가 하나인 수를 분류할 수 있어요. 0 은 모든 알이 떨어져 있어야 하므로 하나예요. 양수 N 에서 가장 왼쪽의 0이 아닌 숫자가 j 번에 있으면 다음 조건이 필요하고 충분해요. 그 왼쪽에 남은 0들은 아무 알도 붙이지 않아요.

\begin{gathered} N>0,\quad j=\max\{i:d_i\ne0\}:\\ d_j\in\{1,2,3,4,6,7,8,9\},\\ d_i\in\{6,7,8,9\}\quad(0\le i<j). \end{gathered}

예를 들어 66, 167, 499 는 하나의 배치만 가져요. 50 은 숫자 5 자체에 두 방식이 있고, 60 은 오른쪽 0의 자리에서 위로 10을 보내는 다른 배치가 있어 하나가 아니에요.

필요조건부터 확인해 볼까요? 어떤 숫자가 5이면 그 줄만 바꿔도 다른 배치가 돼요. 가장 왼쪽의 양의 숫자보다 아래에 0~5가 하나라도 있으면, 그 줄의 자리값에 10을 보탠다. 그 위로 처음 만나는 양의 숫자에서 1을 빼고, 사이의 0들은 자리값 9로 바꿔요. 처음 줄은 최대 15, 마지막 줄은 0 이상이므로 모두 허용돼요. 값은 그대로이고 모습만 달라져요.

반대로 아래 숫자가 모두 6~9이면 그곳에서 10을 올리는 시작이 불가능해요. 자리값이 16 이상이 되어 알이 부족하기 때문이에요. 가장 왼쪽의 양의 숫자나 그보다 위의 0에서 시작하면, 더 위에 1을 빼서 끝낼 양의 숫자가 없어요. 맨 왼쪽 밖으로 넘기는 것도 금지했어요. 따라서 넘어가는 값은 전부 0 이고, 숫자 5도 없으므로 각 줄까지 하나로 정해져요.

유효한 숫자가 k 개인 양수에서는 맨 왼쪽 숫자가 8가지, 나머지가 각각 4가지예요. 제공 교재의 곱의 법칙은 이 분류가 끝난 뒤의 개수를 세는 데 써요. 0을 한 번 더하면 배치가 하나인 수의 총 개수 Uₙ 은 다음과 같아요. 한 줄에서는 9개, 두 줄에서는 41개예요. 전체 알 배치 수나 실제 사용자의 선택 확률을 센 값은 아니에요.

U_n=1+8\sum_{k=1}^{n}4^{k-1} =1+\frac{8(4^n-1)}3.

그런데 알을 가장 적게 붙인 배치는 모든 수에서 하나입니다. 보통 십진 숫자마다 5를 위쪽 알 하나로 나타내고 나머지를 아래쪽 알로 나타내면 돼요. 나머지 표기 dᵢ mod 5는 5로 나누고 남은 0~4를 뜻해요.

\begin{gathered} a_i=\left\lfloor\frac{d_i}5\right\rfloor,\qquad b_i=d_i\bmod5,\\ B_{\min}=\sum_{i=0}^{n-1} \left(\left\lfloor\frac{d_i}5\right\rfloor+(d_i\bmod5)\right). \end{gathered}

다른 배치가 알을 더 아낄 가능성은 없을까요? 각 줄의 자리값 v 를 만들 때 최소 알 수를 m(v) 라 해 볼까요? 5와 10의 두 방식 중 알이 적은 쪽은 하나이고, 나머지 자리값도 하나이므로 이 최소는 각 줄에서 유일해요. 15 는 허용되는 위쪽 알이 2개뿐인 경계라 따로 적어요.

\begin{gathered} m(v)=\left\lfloor\frac v5\right\rfloor+(v\bmod5) \quad(0\le v\le14),\\ m(15)=7. \end{gathered}

0 과 1로 이어진 c 의 기록에서, 10을 올리기 시작해 나중에 소비하는 연속 구간을 하나씩 나눠 볼까요? 한 구간의 알 수 변화는 다음과 같아요. 숫자의 모든 허용 경우를 대입한 표이며, 끝과 중간의 허용 숫자도 함께 제한했어요.

역할	해당 자리의 보통 숫자	보통 배치보다 늘어난 최소 알 수
처음 10을 올림	0~4	2
처음 10을 올림	5	6
10을 계속 전달	1~4	1
10을 계속 전달	0, 5, 6	5
10을 소비하고 끝냄	1~9 중 5 이외	−1
10을 소비하고 끝냄	5	3

처음에는 적어도 알 2개가 늘고, 마지막에 아끼는 양은 많아야 1개예요. 중간에서는 매번 알이 더 필요해요. 따라서 중간이 없는 가장 짧은 구간도 합계가 적어도 1개 늘어나요. 여러 구간은 서로 겹치지 않아 이 증가량이 더해져요. 각 줄에서 알이 많은 두 번째 방식을 택하면 다시 4개가 늘어나요. 그러므로 보통 배치와 다른 모든 배치는 더 비싸고, 앞의 최소 배치는 언제나 유일해요.

전체 배치 수도 계산할 수 있어요. M(v) 는 한 줄의 자리값 v 를 만드는 방법의 수예요. 오른쪽 i 개 줄까지 처리했고 다음 줄로 넘어온 값이 q 인 방법 수를 uᵢ(q) 로 둬요. 처음에는 아무 줄도 처리하지 않았으므로 u₀(0)=1입니다. 한 줄씩 가능한 이전 상태 p 를 합하면 다음 식이 돼요.

\begin{gathered} M(v)=\begin{cases} 2,&v\in\{5,10\},\\ 1,&v\in\{0,1,\ldots,15\}\setminus\{5,10\},\\ 0,&\text{그 밖의 정수}. \end{cases}\\ u_0(0)=1,\quad u_0(1)=0,\\ u_{i+1}(q)=\sum_{p=0}^1u_i(p)M(d_i+10q-p),\\ q\in\{0,1\},\\ \text{전체 배치 수}=u_n(0). \end{gathered}

맨 왼쪽 밖으로 넘어간 값은 0이어야 하므로 마지막의 uₙ(0) 을 읽어요. 이 두 상태 계산은 앞에서 증명한 대응을 그대로 센 거예요. 독립적인 자리별 선택만 곱하는 계산과는 달라요. 필요하면 각 배치에 붙은 알 수도 함께 기록할 수 있지만, 그 수가 손가락 동작 수를 뜻하지는 않아요.

만약 자체 규칙을 위쪽 1개·아래쪽 4개로 제한하면 한 줄의 자리값은 0~9만 남아요. 어느 숫자에서도 넘어가는 구간이 시작되지 않고 자리 안의 중복도 사라져, 모든 수의 배치가 하나예요. 이 사실만으로 역사 속 주판이 바뀐 이유나 어느 도구가 더 빠른지까지 알 수는 없어요.

박물관 기록은 서로 다른 시대의 계산 물건을 읽는 출발점이에요. 이번 질문에서는 그중 위 2개·아래 5개라는 구성을 자체 십진 규칙으로 옮겼어요. 보통 표기, 곱의 법칙, 자리올림과 최소 비용 비교는 알려진 도구예요. 그 도구로 ‘같은 수의 배치가 하나인가’와 ‘가장 적게 붙인 배치가 하나인가’를 모든 줄 수와 수의 범위에서 따로 판단한 것이 이 글의 질문이에요.

출처·착안: Item HT33704 Abacus – Sydney Louey Gung, China, circa 1900s

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