다트에서 38점은 19의 두 배 고리를 한 번 맞히면 끝나요. 32점도 16의 두 배 고리를 맞히면 끝나요. 그렇다면 한 번 빗나갈 가능성을 넣어도 두 점수는 비슷하게 안전할까요?
여기서는 아주 제한된 연습 규칙을 정해요. 두 배 고리만 겨냥하고, 빗나갈 때는 정확히 같은 번호의 단일 고리에 맞는다고 해 볼까요? 번호 d를 겨냥하면 점수는 2d 또는 d입니다. 어디에 맞았는지는 즉시 정확히 알게 돼요. 다른 번호, 삼중 고리, 가운데 고리, 판 밖과 무득점은 넣지 않아요. 공식 경기의 한 차례 세 번 투척이나 점수 리셋도 사용하지 않아요.
남은 점수보다 두 배 점수가 큰 번호는 겨냥하지 않아요. 이 규칙으로 마지막은 반드시 두 배 명중으로 정확히 0점을 만들어야 해요. 앞으로 빗나감은 전체 연습에서 최대 한 번이에요. 발생 시점은 미리 알 수 없어요. 한 번 빗나가도 끝내기까지 몇 번이 필요한지를 묻는 자체 모형이에요.
32점에서는 먼저 16의 두 배 고리를 겨냥해요. 명중하면 바로 끝나요. 오류이면 16점이 남고, 허용된 오류 한 번을 이미 썼으므로 다음 8의 두 배 고리는 반드시 명중해요. 따라서 두 번 안에 완료를 보장해요.
38점에서 처음 19를 겨냥해 빗나가면 19점이 남아요. 이후 두 배 점수만으로 홀수 19를 없앨 수 없어요. 다른 첫 목표를 고르면 해결할 수 있을까요? 결론은 어떤 유한 전략도 보장하지 못해요. 처음 한 번의 선택이 나쁘다는 예와 가능한 전략이 전혀 없다는 주장은 달라요.
전체 조건을 구해 볼까요? 번호는 1부터 M까지이며 M은 양의 정수예요. 실제 일반 번호칸은 20까지지만, 다른 M은 자체 가상 번호판이에요. 시작 잔점 S, 허용 오류 수 r, 허용 투척 횟수 N은 0 이상의 정수예요. 매번 결과를 본 뒤 목표를 바꿀 수 있고, 오류가 r회 이하인 모든 결과에서 N번 안에 끝내야 해요. 오류 확률이나 평균 투척 횟수를 계산하는 문제는 아니에요.
S가 양수일 때 보장 조건은 다음 네 가지를 모두 만족하는 거예요. a는 2를 r번 곱한 값이고, r=0이면 a=1입니다. 바닥 기호는 그 수 이하의 가장 큰 정수를 뜻해요.
S=2at는 시작 점수가 2의 r+1제곱의 배수여야 한다는 조건이에요. t는 양의 정수예요. K=0이면 어떤 양의 점수도 보장할 수 없어요. 배수 조건을 어겨도 N만 늘려서는 해결되지 않아요. 처음부터 S=0이면 이미 끝났으므로 0번이면 되고 첫 목표는 없어요.
왜 오류가 늘 때 배수 조건도 강해질까요? 오류 없는 경로의 마지막 목표를 d라 하면, 그 직전 잔점은 2d입니다. 그때 오류가 나면 d가 남아요. 남은 오류 r−1회를 모두 견딜 수 있어야 하므로 d는 2의 r제곱의 배수여야 해요. 오류가 없는 r=0에서 모든 잔점이 짝수라는 출발 조건을 이용해 이 논증을 r에 대해 반복해요.
마지막만의 조건도 아니에요. 오류 없는 경로를 거꾸로 읽어 볼까요? 현재 잔점을 x라 하고 목표를 d라 하면, 명중 뒤 x−2d는 2의 r+1제곱의 배수이고, 지금 오류가 난 뒤 x−d는 2의 r제곱의 배수여야 해요. 두 식을 빼면 d도 2의 r제곱의 배수예요. 그러므로 경로의 모든 목표가 a, 2a, …, Ka 중 하나예요.
오류 없는 경로가 j번 명중으로 끝난다고 해 볼까요? r이 1 이상이면 마지막 한 번을 오류로 바꾸고, 이어 남은 r−1회도 오류로 만들 수 있어요. 오류로는 잔점이 0이 되지 않으므로 마지막 명중 한 번이 더 필요해요. 이 결과는 적어도 j+r번 걸려요. r=0일 때도 j번은 필요해요. 한 명중이 t를 최대 K만큼 없애므로, 허용 투척 횟수 안에서는 t≤K(N−r)가 반드시 필요해요.
이 조건은 충분하기도 해요. t를 1 이상 K 이하인 정수 조각들로 나눠요. 한 조각이 j이면 점수 2aj를 맡기고 먼저 aj를 겨냥해요. 오류가 날 때마다 다음 목표를 절반으로 줄여요. 명중하면 그 조각의 잔점을 정확히 없애고 다음 조각을 처리해요. 전체 오류가 최대 r회라 목표는 끝까지 양의 정수이고 M을 넘지 않아요.
조각마다 마지막 명중 한 번, 실제 오류마다 추가 한 번이 필요해요. 조각 수를 가장 작게 잡으면 보장할 수 있는 최소 투척 횟수는 다음과 같아요. 천장 기호는 그 수 이상의 가장 작은 정수를 뜻해요.
| 번호 1~20에서 허용 오류 r | 보장할 수 있는 양의 시작 점수 | 최소 투척 횟수 |
|---|---|---|
| 0회 | 2의 배수 | S/40 이상 최소 정수 |
| 1회 | 4의 배수 | 1 + S/40 이상 최소 정수 |
| 2회 | 8의 배수 | 2 + S/40 이상 최소 정수 |
| 3회 | 16의 배수 | 3 + S/32 이상 최소 정수 |
| 4회 | 32의 배수 | 4 + S/32 이상 최소 정수 |
| 5회 이상 | 없음 | 유한 보장 불가 |
오류 없는 경우에는 큰 두 배 점수를 나누어 쓰면 돼요. 오류 네 번을 허용한 32점은 최소 다섯 번이에요. 처음 16을 겨냥하고 계속 오류이면 다음 목표는 8, 4, 2, 1입니다. 다섯 번째까지 또 오류라고 가정할 수는 없어요. 그전에 네 번의 오류를 모두 썼기 때문이에요.
최소 투척 횟수만 알아도 첫 목표가 하나로 정해지는 것은 아니에요. 보장이 가능한 S=2at와 N에서, 그 보장을 유지하는 첫 목표 전체는 다음 정수 j의 범위예요.
첫 명중 뒤의 t−j를 남은 N−1번과 같은 오류 예산으로 처리해야 해서 아래쪽 경계가 나와요. 번호 상한과 잔점 초과 금지가 위쪽 경계예요. 첫 오류 뒤에는 오류 예산이 하나 줄어 필요한 배수와 번호 용량이 완화된다. 현재 상태가 보장 가능하면 그 분기도 남은 투척 횟수 안에 처리할 수 있어요. r=0에서는 오류 분기를 확인할 필요가 없어요.
예를 들어 64점, 오류 최대 한 번, 투척 횟수 최대 세 번이면 첫 목표는 12, 14, 16, 18, 20이 전부예요. 목표 10은 짝수지만 충분하지 않아요. 첫 명중 뒤 44점에서 남은 두 번과 오류 한 번으로는 40점을 넘는 잔점을 보장할 수 없기 때문이에요. 배수 조건과 투척 횟수 조건을 함께 확인해야 해요.
32점과 38점에서 한 번 명중하는 길과 모든 허용 오류에서 끝내는 전략을 따로 적어 봐요. 다음에는 같은 64점에서 첫 목표를 바꿔 두 결과의 후속 잔점을 모두 확인해 봐요. 실제 명중률이나 학생의 실력이 좋아졌다는 측정 주장은 하지 않아요.
제공 교재의 거듭제곱은 반복 곱을, 진리집합은 조건을 만족하는 시작점과 첫 목표의 집합을 설명하는 기초 용어예요. 반감, 홀짝, 최악의 경우 판단은 알려진 도구예요. 이 모형의 전 점수·오류 예산·투척 횟수 조건과 적응적 구성은 선택 교재나 경기 규칙에 실린 정리라고 주장하지 않아요.
착안: World Darts Federation, Americas Cup General Tournament Rules and Regulations, 2018년 7월 20일 개정판 PDF 13~17쪽. 번호칸의 두 배 점수와 정확히 두 배로 끝내는 배경만 참고했어요. 두 결과만 허용하는 오류 조건·가상 번호 범위·예시와 전범위 증명은 자체 교육용이며 실제 경기 전략이나 현재 규칙 안내가 아니에요.