답마다 예를 들었는데, 네 답은 함께 맞을 수 있을까요?

문장마다 예를 그려도 답안 전체는 불가능할 수 있어요. ‘언제나·가끔·전혀’ 답에서 같은 물건의 소속을 유지하는지 확인해 볼까요?

NSW 교육부의 사각형 분류 수업은 예와 반례로 답을 설명하게 해요. 여기서는 한 가상 물건 묶음에 네 분류 A·B·C·D의 소속을 표시해요. 분류는 비어 있지 않고 겹쳐도 돼요.

가끔의 겹치는 예를 x라 해 볼까요? x는 A와 C에 속해요. 첫 두 답을 따라가면 B와 D에도 속해 마지막 답과 충돌해요.

이 모순을 집합 관계로 다시 쓸게요. ‘언제나’인 두 답은 $A\subseteq B$, $C\subseteq D$이고, ‘전혀’는 $B\cap D=\varnothing$입니다. 따라서

즉 A와 C에 함께 속하는 물건은 없어야 해요. 그런데 ‘가끔’은 $A\cap C\neq\varnothing$인 예와 $A\setminus C\neq\varnothing$인 반례를 모두 요구해요. 같은 물건을 끝까지 따라가야 하는 이유는 두 집합 조건을 동시에 만족시켜야 하기 때문이에요.

별도 그림 네 장 대신 같은 물건의 소속을 한 표에 적어 봐요. 가끔의 예가 다른 답에도 맞는지 확인해 봐요. 반례만으로 가끔을 확인한 것도 아니에요. 겹치는 예까지 필요해요.

가끔만 전혀로 고치면 x는 A·B에만, y는 C·D에만 넣어 네 답을 만족시켜요. 수정 예 하나이며 모든 답안의 검사 정리는 아니에요. 실제 사각형 과제에서는 도형의 정의도 따로 확인해요.

착안: NSW 교육부, Secondary Mathematics example. 예·반례 과제에서 착안했고 네 답과 공통 소속표는 자체 구성했어요.