색칠 도구로 가운데만 채우려는데, 테두리 바깥처럼 보이는 모서리까지 칠해질 수 있을까요? 검은 칸 네 개로 둘러싼 작은 그림을 종이에 그려 볼까요? 가로·세로 세 칸이며, 위에서부터 다음과 같아요.
첫째 줄: 흰·검·흰
둘째 줄: 검·흰·검
셋째 줄: 흰·검·흰
가운데 흰 칸에서 시작해요. 흰 칸으로만 한 칸씩 옮기며 도달한 칸을 모두 칠해요. 검은 칸을 건너뛰거나 그림 밖으로 나가지는 않아요. 변을 맞댄 위·아래·왼쪽·오른쪽만 허용하면 첫걸음을 뗄 곳이 없어 가운데 한 칸만 칠해요. 모서리끼리 닿은 대각선도 허용하면 네 모서리로 바로 갈 수 있어 흰 칸 다섯 개가 모두 칠해져요.
이번에는 대각선 이동 규칙을 그대로 두고 경계를 수선해 볼까요? 가운데와 기존 검은 칸은 바꾸지 않아요. 네 모서리의 흰 칸 중 일부를 검게 바꾸어, 가운데만 칠해지게 하려면 최소 몇 칸을 바꿔야 할까요?
네 칸 모두예요. 어느 모서리든 흰색으로 남겨 두면 가운데에서 한 번에 갈 수 있어요. 네 칸을 전부 막으면 다른 흰 칸이 없으므로 가운데만 남아요. 먼저 네 탈출 화살표를 그리고, 막은 칸과 그 이유를 짝지어 설명해 봐요. 테두리의 모양보다 ‘어떤 이웃으로 갈 수 있는가’를 확인하는 활동이에요. 실제 프로그램의 색 오차 허용이나 자동 틈 메우기 기능은 이 모형에 포함하지 않아요.
흰 칸의 집합과 도달한 칸의 집합을 나누어 세어 볼까요? 전체 9칸을 U, 검은 4칸을 B라고 하면 흰 칸 W는 U에서 B를 뺀 여집합이며 원소 수는 9−4=5입니다. 그러나 네 방향으로만 움직일 때 도달한 칸은 가운데 1칸이에요. 흰색이라는 조건만으로 도달 가능성이 정해지지는 않아요.
여덟 방향 규칙에서는 네 모서리가 모두 가운데의 직접 이웃이에요. 모서리 중 r칸을 검게 바꾸면 흰 모서리는 4−r칸 남아요. 남은 모서리마다 한 번에 갈 수 있고 다른 흰 칸은 없으므로, 도달한 칸 수 N은 정확히 다음과 같아요.
가운데만 남긴다는 목표는 N=1입니다. 이를 식에 넣으면 5−r=1, 따라서 r=4입니다. 3칸만 바꾸어도 N=2여서 부족하고, 4칸을 바꾸면 N=1로 성공해요. 단순히 ‘네 칸처럼 보인다’고 추측하는 대신, 남는 모든 직접 이웃을 세어 필요성과 충분성을 함께 확인한 거예요.
착안: GIMP 설명서, Fuzzy Selection과 Bucket Fill. 알려진 이웃 연결 규칙을 바탕으로 만든 유한한 종이 활동이며, 원전 화면·도판은 옮기지 않았어요.